5.10. Турбулентное движение жидкости в гладкой цилиндрической трубе
Полагая суммарное касательное напряжение в потоке постоянной величиной, и принимая гипотезу Прандтля для турбулентных напряжений, запишем (5.38) в виде
.
(5.43)
По мере приближения к стенке турбулентные пульсации затухают, напряжение τТ уменьшается и в непосредственной близости от стенки становится столь малым по сравнению с τμ, что в пределах пристеночного слоя можно принять τ0=τμ.
По мере удаления от стенки роль турбулентных пульсаций возрастает и, начиная с некоторого расстояния, значение τT многократно превосходит значение напряжения τμ, так что для этой области потока можно принять τ0=τT.
Для пристеночной области потока (ламинарного подслоя),
,
(5.44)
где
τμ=const
- напряжение трения на стенке трубы.
Отсюда
Интегрируя
это уравнение, получим
При y=0, U=0 постоянная интегрирования С=0. В ламинарном подслое распределение скорости носит линейный характер:
(5.45)
В области турбулентного течения
.
(5.46)
Используя для длины пути перемешивания формулу Прандтля l =ϰy, получим
,
(5.47)
откуда
.
(5.48)
Обозначая
и интегрируя уравнение (5.48), находим
(5.49)
Для
определения постоянной С
используем условие на границе между
турбулентным ядром потока и ламинарным
подслоем:
;
.
Здесь δл – толщина ламинарного подслоя, а Uл – скорость на его границе.
Записывая уравнение (5.49) для границы ламинарного подслоя, получим
.
откуда
.
(5.50)
Исходя из уравнения (5.45) для границы ламинарного подслоя, напишем
,
так как
С учетом скорости U* выражение для τμ/ρ можно представить в виде
или
,
(5.51)
откуда толщина ламинарного подслоя
.
(5.52)
Подставляя выражения (5.51 и (5.52) в (5.50), получим
,
(5.53)
а подставляя (5.53) в (5.49), имеем
,
или
,
где
.
Коэффициенты
1/ϰ
и 
можно определить опытным
путем.
Так, в результате опытов Никурадзе получена формула, выражающая универсальный логарифмический закон распределения скоростей в гладких трубах:
.
(5.54)
Положив
в (5.54) y=r0,
определим скорость на оси трубы 
:
.
(5.55)
Зная закон распределения скоростей, можно найти величину коэффициента гидравлического трения. Для гидравлически гладких труб, исходя из формулы (5.54), можно записать для средней скорости потока
,
(5.56)
где yср = 0,223U* - расстояние от стенки до слоя, скорость в котором равна средней скорости U.
Ранее была получена зависимость
,
подставляя которую в (5.56), получим известную формулу Прандтля для коэффициента гидравлического трения в гладких трубах:
(5.57)
Недостаток формулы (5.57) в том, что связь λ и числа Re выражена в неявной форме. Этого недостатка нет, например, у эмпирической формулы Конакова
.
(5.58)
Наряду с логарифмическими формулами существуют степенные. Например, широко применяется эмпирическая формула Блазиуса, пригодная при Re<100000:
.
(5.59)
Этой формуле отвечает степенное выражение для распределения скорости потока по сечению трубы (применение которой ограничено тем же условием):
,
(5.60)
где у - расстояние от стенки трубы.
Это уравнение известно под названием закона Блазиуса.
Для максимальной скорости на оси трубы (y=r0)
.
(5.61)
Из равенств (5.60) и (5.61) получим
.
Литература по содержанию лекции:
1. Чугаев Р. Р. Гидравлика (Техническая механика жидкости). - Л.: Энергоиздат, 1982. - 672 с.
2. Штеренлихт Д. В. Гидравлика. - М.: Энергоатомиздат, 1985. - 640 с.