3. Використовуючи вихідні дані 2:

• Визначити коефіцієнт кореляції рангів (зробити розрахунок за допомогою таблиці);

Викиди забруднюючих речовин в атмосферне повітря

І		ІІ		ІІІ		IV		V
Кількість підприємств	Обсяг викидів	Кількість підприємств	Обсяг викидів	Кількість підприємств	Обсяг викидів	Кількість підприємств	Обсяг викидів	Кількість підприємств	Обсяг викидів
24	1,3	5	0,1	14	0,385	49	0,64	48	13,3
15	0,9	39	115,7	195	216,7	2	0,009	2	0,001
200	6,4	2	105,0	9	1,031	2	0,002	424	24,22
93	3,4	18	9,8	157	131,6	177	9,18	15	0,46
7	0,1	17	0,9	37	2,09	73	2,38	76	1,54
6	0,4	30	0,5	3	4,74	1	0,933	19	3,65
3	0,5	31	0,4	5	0,88	7	96,6	16	0,40
44	1,8	33	4,9	17	6,18	24	129,1	8	7,76
1	0,2	14	4,5	34	113,43	9	44,4	25	2,62
19	0,3	12	0,2	20	0,205	9	109,2	26	0,20
				29	84,07	21	95,8	21	11,60

ЗРОБИТИ ВИСНОВКИ ПРО

ЗНАЧЕННЯ РЯДІВ РОЗПОДІЛУ, ЇХ ВИДИ, ГРАФІЧНЕ ЗОБРАЖЕННЯ,

ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦЕНТРУ РОЗПОДІЛУ, ВАРІАЦІЇ ТА СИМЕТРІЇ.

Теоретичний матеріал:

Побудова та аналіз статистичних рядів.

інформації про стан явищ і однорідність сукупності, є початковим етапом статистичного аналізу. Наприклад, маємо матеріали спостереження про обсяг викидів шкідливих речовин в атмосферне повітря:20,2; 6,2; 6,4; 2,9; 4,2; 1,4; 2,0; 0,6; 0,5; 1,7; 1,4; 2,6; 1,0; 2,2; 0,9; 1,0; 0,9; 0,3; 1,4; 3,7; 1,8; 2,4; 1,6; 0,9; 1,2; 0.6; 0,8; 1,4.

Усяка цифрова інформація, подана від рядка, є не наочною і складною для сприйняття. Тому для забезпечення наочності її представляють у формі таблиці, яка налічує два елементи: номер об'єкта і назву показника.

Для великих сукупностей інформацію зручніше і наочніше представити графічно у вигляді поля розсіювання (діаграми казусів), побудованого в системі прямокутних координат, де на горизонтальній осі відкладаються номери об'єктів, а на вертикальній — назви показників. Числові значення ознак конкретних об'єктів на координатне поле наносяться у вигляді точок, які відповідають номеру об'єктів (рис. 2.1.1). На рис. 2.1.1 точки розсіяні по всьому полю, що свідчить про значні відмінності в рівнях викидів (від 0,3 до 20,2 тис. т). При цьому видно рівні високих й низьких показників викидів, також кількість об'єктів з низьким і високим рівнем викидів. Крім того, за горизонтальною шкалою можна визначити, які об'єкти сильніше чи слабкіше забруднюють атмосферне повітря. І все ж аналітичні можливості цього ряду обмежуються констатацією і демонстрацією рівнів, які склалися.

Прийомом первинної обробки і систематизації вихідної інформації є побудова упорядкованих рядів.

Упорядковані ряди представляють собою ряди упорядкованої статистичної інформації за певною ознакою. Існує декілька видів упорядкованих рядів: ранжируванні і паралельні та ряди розподілу.

Ранжируванний ряд — упорядкований ряд одиниць сукупності за зростанням чи спаданням ознаки. Він також складається з двох елементів: рангового номера об'єкту і ознаки, яка має здатність варіювати, побудованої за зростанням. За допомогою ранжируванного ряду здійснюється первинна обробка і упорядкування вихідної інформації.

За формою таблиця ранжируванного ряду (табл. 2.1.2) буде аналогічною попередній таблиці 2.1. і будується за її даними. При присвоюванні рангового номеру об'єкту слід зберігати його порядковий номер, якій дається через вертикальну рисочку.

Дані табл. 2.1.2 свідчать про інтенсивність і швидкість зміни ознаки спочатку повільно змінюється від надто малих до дуже великих значень. Під останнім ранговим номером є об'єкт з аномальним рівнем викидів, якій перевищує мінімальний рівень майже у 100 разів. При подальшому аналізі закономірностей розподілу аномальний об'єкт повинен із сукупності виключатись.

Графічним зображенням ранжируванного ряду є огіва. Вона будується в системі прямокутних координат, де на горизонтальній осі відкладаються об'єкти, а на вертикальній — варіанти. Рис. 2.1.2 показує інтенсивність розподілу об'єктів за обсягом викидів: бачимо розміри типових груп об'єктів (вертикальні лінії); об'єкти, які входять у кожну групу (номери об'єктів); рівень викидів в кожній типовій групі (від...до горизонтальні лінії), а також відмінності в рівнях між низькими і середніми, середніми і високими (висоти стовпчиків в кожній групі).

Паралельний (аналітичний) ряд представляє паралельне розміщення двох взаємопов'язаних ознак — факторної і результативної, перша з яких розміщується за ранжиром. При цьому способі статистичні дані звичайно зіставляються в табличній формі у вигляді паралельно розміщених показників, чим досягається найбільша наочність і виразність порівняння. Однак зіставлення паралельних рядів, причино непов'язаних між собою, є грубою помилкою. Тому побудові паралельних рядів передує теоретичний аналіз сутності і характеру взаємозв'язку. При цьому перш ніж виявити вплив необхідних факторів на результат, елімінується дія всіх інших факторів. їхнє значення полягає в тому, що вони дають можливість встановити наявність або відсутність взаємозв'язку, отримати наближену, попередню оцінку щільності взаємозв'язку. Паралельні ряди — хоч і елементарний, але досить ефективний для невеликих сукупностей прийом аналізу взаємозв'язків. Наприклад, розглянемо наявність зв'язку між викидами шкідливих речовин в атмосферне повітря та кількістю підприємств, що мають стаціонарні джерела забруднення по Житомирщині за 2005 рік (табл.2.1.3).

Ці ряди служать для вивчення взаємозв'язку екологічних явищ, тобто встановлення факту впливу будь-якої причини (кількість підприємств, що мають стаціонарні джерела забруднення) на результат (викиди шкідливих речовин в атмосферне повітря).

Щільність зв'язку вимірюється за допомогою коефіцієнта кореляції рангів (r_p)

Підставляючи дані таблиці в формулу маємо: r_p = (1- 6*6)/9*(9²- 1)= 1 -36/720= 1 - 0,05 = 0,95. Отже r_p = 0,95, вказуючи на дуже високу щільність зв'язку між обсягом викидів шкідливих речовин в атмосферне повітря та кількістю підприємств, що мають стаціонарні джерела забруднення.

В процесі роботи дослідник знаходить деякі факти, явища, випадки, предмети, та взагалі, умовні одиниці, які містять у собі індивідуальність. Властивість умовних одиниць відрізнятися одна від одної навіть в однорідних сукупностях називається мінливістю, або варіюванням. В будь-якій сукупності дані досліджування завжди будуть варіювати в тих чи інших межах. Значна мінливість, що властива майже всім об'єктам екології, істотно ускладнює їх кількісну оцінку, заважає виявленню наявних закономірностей. Ряди розподілу, що засновані на признанні цієї мінливості, систематизувати та узагальнити результати спостереження, а також встановити відповідності отриманого матеріалу з теоретичними розрахунками,

Якщо кількість груп, на яку треба розчленувати сукупність, не відома, то значення інтервалу визначається за формулою Стерджесса:

де т - число груп (інтервалів).

Інтервали можуть бути різних видів: закриті і відкриті, круглі і не круглі, рівні і нерівні, перервні і неперервні.

Для побудови інтервального ряду необхідно встановити значення інтервалу, повну шкалу інтервалів і відповідно до неї згрупувати результати спостереження. На основі даних ранжируванного ряду (табл. 2.2) знайдемо значення інтервалу. Якщо отриманий інтервал виявиться дробовим числом, то за значення інтервалу слід взяти або найближче ціле число, або найближчий простий дріб.

Встановлення шкали інтервалів здійснюється поетапно: насамперед визначають нижні межі всіх груп, потім знаходять верхні межі для всіх груп. Початком першого інтервалу рекомендується вважати величину а₁=Хтіп-0,5і, початок кожного наступного інтервалу відрізняється від початку попереднього на значення інтервалу і дорівнює а₁ = а₁+і, а₃ = а₂+і і т. д. Побудова інтервалу продовжується доти, доки початок наступного за порядком інтервалу не буде перевищувати Хтах Для нашого прикладу нижні межі груп за і=(Хтах-Хтіп):5 = (6,4 - 0,3):5 = 1,2 дорівнюють:

а_і ⁼ 0,3-0,5*1,2= - 0,3. Наявність від'ємного числа вказує на те, що подальші розрахунки за формулами не мають сенсу. Особливості явища, яке досліджується, потребують не аналітичного, а емпіричного встановлення величини інтервалу і границь інтервалів для кожної групи за ранжируванний рядом. Дані табл. 2.1.2 показують інтенсивність зміни викидів по раніше утвореним групам логічним шляхом:

Виходячи з цих даних та округливши визначену раніше величину інтервалу до одиниці (і = 1,2 приблизно 1,0), визначимо границі інтервалів груп логічним шляхом і побудуємо шкалу інтервалів, відкривши крайні границі інтервалів:

При розподілі одиниць сукупності за групами попередньо складається робоча таблиця, на основі якої будується і інтервальний ряд. До інтервалу включаються дані, що є меншими або дорівнюють верхній межі інтервалу і більшими за нижню межу.

При розподілі одиниць сукупності за групами попередньо складається робоча таблиця, на основі якої будується і інтервальний ряд. До інтервалу включаються дані, що є меншими або дорівнюють верхній межі інтервалу і більшими за нижню межу.

На основі цих даних будується інтервальний варіаційний ряд (табл. 2.1.5).

Як видно з табл. 2.1.5, об'єкти розподілились за інтервалами нері

вномірно: більшу частку об'єктів Житомирщини 11 з 27 або 40,7 % мають дуже низки і низки рівні викидів шкідливих речовин в атмосферне повітря, середній рівень - мають 10 об'єктів або 37,0 %, високий рівень - 4 об'єкти або 14,8 % та дуже високий - 2 об'єкти або7,4 % від загальної кількості всіх об'єктів.

Велике практичне значення мають кумулятивні ряди розподілу з нагромадженими частотами або частостями. Нагромадження частот називається кумуляцією. Кумулювати можна частоти варіантів і інтервалів. Нагромаджені частоти показують, скільки одиниць сукупності мають значення ознаки не більше, ніж значення, яке розглядається, і визначаються послідовним підсумовуванням частот інтервалів.

Для наочності відображення закономірності розподілу використовують графіки. Графічним зображенням інтервального ряду розподілу є багатоступінчаста фігура — гістограма (рис. 2.1.5).

Гістограма будується у вигляді прямокутників різної висоти, пропорціональної частотам (частостям), і однакової ширини, яка відповідає значенню інтервалу. Гістограма будується в системі прямокутних координат, де на горизонтальній осі відкладаються інтервали, на вертикальній — частоти або частості.

Як видно з рис. 2.1.5, сукупність складається в основному з об'єктів другої і третьої груп, які мають середній і невисокий рівень викиди шкідливих речовин в атмосферне повітря. Графічним зображенням інтервального ряду з нагромадженими частотами чи частостями є кумулятивна крива, що являє собою огіву

відносно групи одиниць, замкнених в певному інтервалі. Кумулятивну криву іноді називають полігоном нагромаджених частот чи частостей. Вона відображає нерівномірність у розподілі об'єктів: дві третіх усієї довжини ломаної лінії займають об'єкти, які мають середній і нижче середнього рівні викидів шкідливих речовин в атмосферне повітря. Оперування рядом нагромаджених частот надає деяких переваг порівняно з початковим рядом розподілу. Графіки кумулятивних рядів застосовуються для графічного зображення нерівномірності розподілу. Друга дугоподібна крива лінія характеризує згладжування частот розподілу за поліномінальною кривою. Значення цього питання розглядається у наступному параграфі.

Комбінаційний розподіл елементів сукупності за двома ознаками наведено в табл.2.1.6.

Дані табл. 2.1.6 свідчать про те, що частоти в основному сконцентровані біля діагоналі, що йде з лівого верхнього кута в правий нижній. Це свідчить майже про прямий зв'язок між ознаками, оскільки із зростанням кількості джерел викидів зростає й обсяг викидів. При цьому зв'язок між ознаками є високим, оскільки частоти не розсіяні по усій таблиці, а достатньо щільно сконцентровані біля діагоналі.

СЕРЕДНЯ характеризує типовий рівень варіюючої ознаки в розрахунку на одиницю сукупності. Вона відображає в собі те спільне, характерне, що об'єднує всю масу елементів, тобто статистичну сукупність. Проте слід пам'ятати, що середня відображає типовий рівень ознаки лише в тому випадку, коли статистична сукупність, за якою вона обчислюється, якісно однорідна. Це одна з основних умов наукового застосування середніх у статистиці. Крім того, типовий рівень ознаки, що вивчається, проявляє себе лише у випадку узагальнення масових фактів. В цьому проявляється дія закону великих чисел.

За допомогою середніх величин масу елементів можна охарактеризувати одним числом, незважаючи на те, що середня величина абстрактна і може не збігатися із жодним з індивідуальних значень ознаки. Вона відображає те загальне, типове для маси явищ, яке реально існує в конкретних умовах простору і часу. За допомогою середніх можна здійснити порівняльний аналіз кількох сукупностей, дати характеристику закономірностей розвитку соціально-економічних явищ і процесів тощо. Середня завжди узагальнює кількісну варіацію ознаки, яка тією чи іншою мірою властива всім без винятку елементам сукупності.

Значення середніх в тім, що вони характеризують центральну тенденцію розподілу і є центром розподілу однорідних сукупностей. Статистична середня - одна з найважливіших кількісно-якісних категорій, які широко використовують у планово-аналітичній роботі підприємств і організацій.

При вивченні закономірностей розподілу застосовують середню арифметичну, варіації - середню квадратичну, інтенсивності розвитку - середню геометричну.

\\

* У розрахункових формулах таблиці прийняті такі позначення: х - значення ознаки; f- частота появи значення ознаки (вага); n -обсяг сукупності ( n = ∑f); w - обсяг значення ознаки x(w=x •f).

Співвідношення між ними наступне: х_кв > х_а > х_геом > х_гарм

Це співвідношення називається правилом мажорантності.

В екологічній статистиці це правило не може бути застосоване, оскільки обчислення різних середніх для однієї і тієї ж сукупності недоцільне. Вибір виду середньої має ґрунтуватись на всебічному теоретичному аналізі суті явищ та наявній інформації. Середня лише тоді може бути справжньою узагальнюючою характеристикою, коли при заміні нею всіх варіантів загальний обсяг варіюючої ознаки залишиться незмінним. Отже, залежно від того, що являє собою загальний обсяг варіюючої ознаки, в кожному конкретному випадку обирають вид середньої.

Середня арифметична - один із найбільш поширених видів середньої величини. Вона застосовується у тих випадках, коли обсяг варіюючої ознаки для всієї сукупності являє собою суму індивідуальних значень її окремих елементів. Середня арифметична буває простою і зваженою:

Середня арифметична проста застосовується тоді, коли розрахунок здійснюють на основі первинних, не згрупованих даних. Наприклад, обсяг викидів шкідливих речовин по різних об'єктах складає:

Проте в практиці аналітичної роботи нерідко виникає потреба розраховувати середні величини на основі згрупованих даних, передусім даних варіаційного ряду розподілу. У цьому випадку для визначення загального обсягу варіюючої ознаки слід кожну з варіант помножити на частоту і отримані результати підсумувати (табл. 2.2.2):

Дещо умовного характеру набуває розрахунок середньої з інтервального ряду розподілу. В цьому випадку для кожної групи визначають середнє значення інтервалу як пів суму двох його меж. Саме вони і використовуються як варіанти. Ширину відкритого інтервалу умовно приймають такою, як у сусідньому закритому інтервалі. Використання середини інтервалу як варіанти ґрунтується на припущенні, що в межах інтервалу індивідуальні значення ознаки розподіляються рівномірно. У разі відхилення від рівномірного розподілу середня інтервального ряду є менш точною, ніж середня, обчислена на основі первинних даних.

Розрахунок середньої проілюструємо на прикладі, використавши дані табл. 2.2.3.

Середня арифметична має певні математичні властивості, зокрема такі: якщо абсолютні частоти замінити їх частками,, то розрахунок середньої в цьому випадку можна записати так:

Структурні середні До характеристик центру розподілу, крім середньої арифметичної, належать мода і медіана. їх часто називають порядковими або структурними середніми і розглядають разом з такими характеристиками розподілу, як чверті (квантилі) і десяті частини (децилі).

Мода (Mo) – це та варіанта, що найчастіше повторюється в ряді розподілу.

У дискретному ряді моду легко відшукати візуально, бо це варіанта, якій відповідає найбільша частота. Наприклад, найчастіше показник випуску забруднених стічних вод у відкриті водойми складав 22%, тобто Мо = 22% (табл. 2.2.4).

Модальна забрудненість відображає середній рівень забруднення в ряді розподілу. В інтервальному ряді легко відшукується лише модальний інтервал, а сама мода визначається приблизно за формулою:

де х₀ - нижня межа модального інтервалу; h, f_m - ширина і частота модального інтервалу; f_m-₁,f_m+1 - частота попереднього і наступного інтервалів відносно модального.

Модальний інтервал становить від 21 до 23%, бо відносна йому частота є максимальною f_m = 25. Підставивши дані, що витікають з таблиці:

Це означає, що така забрудненість є найбільш поширеною, типовою для місць скиду стічних вод.

Медіана (Me) - це варіанта, що ділить ранжируваний ряд на дві рівні за чисельністю частини.

Якщо непарне число варіант записати в порядку зростання чи зменшення, то центральна з них і буде медіаною. Коли число варіант парне, медіана розраховується як середня арифметична двох центральних варіант. При визначенні медіани за даними ряду розподілу використовують кумулятивні частоти, які полегшують пошук центральної варіанти. Медіанний рівень забрудненості визначимо за даними табл. 3.4.4. Для цього слід встановити насамперед порядковий номер центральної варіанти, для чого загальну кількість місць скидання стічних вод розділимо на 2 (75 / 2 = 37,5).

З рядка кумулятивних частот видно, що варіанта (частота) становить 22, бо її номер знаходиться саме в цій групі. Таким чином, Me = 22%.

В інтервальному ряді розподілу аналогічно визначається медіанний інтервал. Конкретне значення медіани обчислюється:

т

д

е х₀ - нижня межа медіанного інтервалу; h - ширина медіанного інтервалу; s_m-1 - кумулятивна частота інтервалу, що передує медіанному; f_m - частота медіанного інтервалу

Водночас з модою та медіаною для повнішої характеристики сукупності використовують варіанти, що займають у впорядкованому ряді цілком визначене місце: четверте, десяте, соте. До таких варіантів належать відповідно кварталі (чверті - Q), децилі (Р₁₀) і перцентилі (Р₁₀₀), які ділять ряд за сумою частот на чотири, десять і сто рівних частини.

Q₁ - нижню; Q₂ (Q₂= M_e) - серединну; Q₃ - верхню. Значення чверті знаходять за формулою, аналогічною до розрахунку медіани. Нижня чверть показує, що для початкової четвертої частини одиниць сукупності (для 25%) значення ознаки не перевищує Q₁, серединна чверть Q₂ (Me) - для половини одиниць сукупності значення ознаки не перевищує Q₂, верхня чверть Q₃ - для трьох четвертих одиниць сукупності (для 75%) значення ознаки не перевищує Q₃.

При великому значенні обсягу сукупності п, крім чвертей, можуть використовуватись десяті, соті частини, зміст і техніка обчислень яких аналогічні до обчислення чвертей.

Мода і медіана - це особливий вид середніх величин. На відміну від середньої арифметичної, що є величиною абстрактною, ці характеристики центру розподілу статистичної сукупності завжди збігаються з конкретними варіантами. Крім того, на їх величину не впливають значення варіант, не характерних для даної сукупності, скажімо, надмірно малі чи надмірно великі. При обчисленні середньої арифметичної до уваги беруться усі без винятку варіанти. Саме через це мода і медіана в окремих випадках мають свої переваги перед середньою арифметичною і використовуються при вирішенні деяких практичних питань:

• мода показує, яке значення ознаки є найбільш вірогідним, тобто масовим, типовим, оскільки вона зустрічається в сукупності найчастіше;

• медіана є центром розподілу кількості одиниць сукупності, на відміну від середньої арифметичної, яка є центром розподілу відхилень ознаки від х; вона служить додатковою характеристикою сукупності. Для неоднорідної сукупності вона краще характеризує типовий рівень ознаки ніж середня величина.

Середня, мода і медіана для якісно однорідної сукупності незначно відрізняються одна від одної. В симетричних розподілах х =М₀ = Ме.

Середні величини дають загальну характеристику сукупності. Типовість і надійність середньої характеристики залежить від розміру і розподілу відхилень значень ознаки (варіантів) від середньої. Якщо індивідуальні значення ознаки істотно різняться між собою, то середня арифметична не буде служити надійною характеристикою сукупності, тобто не матиме практичного значення. Розрахунок середньої величини дає змогу встановити те значення ознаки, в околі якого розміщені окремі значення ознаки. Зрозуміло, що чим меншим є цей окіл, тобто чим меншим є відхилення значень ознаки від середньої, тим краще середня характеризує загальний рівень ряду. Відтак виникає потреба оцінити поряд з характеристиками центру розподілу міру і ступінь варіації. Чим менша варіація, тим однорідніша сукупність, отже, тим більш надійні і типові характеристики центру розподілу, насамперед середні величини.

Вивчення варіації має велике значення для оцінки сталості та диференціації явищ, при використанні вибіркового та інших статистичних методів.

Для виміру і оцінки варіації використовують систему абсолютних і відносних характеристик, а саме:

• розмах варіації;

• середнє лінійне відхилення;

• середнє квадратичне відхилення;

• дисперсія;

• коефіцієнти варіації.

Кожна з названих характеристик має певні аналітичні переваги при вирішенні тих чи інших завдань статистичного аналізу. Методика обчислення характеристик варіації залежить від виду ознаки х і наявних даних (не згруповані чи згруповані).

Розмах варіації - це різниця між найбільшим і найменшим значеннями ознаки:

Показник характеризує межі, в яких змінюється значення ознаки.

Так, за даними табл. 3.4.4 розмах варіації забрудненості становить 12% (R = 28-16).

В інтервальному ряді розподілу розмах варіації визначають як різницю між верхньою межею останнього інтервалу і нижньою межею першого, або як різницю між середніми значеннями цих інтервалів. Безумовною перевагою розмаху варіації як міри коливання ознаки є простота його обчислення і тлумачення. Але надійність такої простої характеристики невисока, оскільки вона базується на двох крайніх значеннях ознаки, які часто не є типовими для сукупності, або мають випадковий характер. Тому розмах варіації використовують для попередньої оцінки варіації.

Середнє лінійне і середнє квадратичне відхилення. У практиці статистико-екологічного аналізу широко застосовують характеристики варіації, що грунтуються на відхиленнях індивідуальних значень ознаки від середньої величини х — ¯x. Оскільки ∑(x - x¯) = 0, то при розрахунку такого роду характеристик використовують або модулі, або квадрати відхилень. В результаті маємо такі характеристики варіації: середнє лінійне l і середнє квадратичне σ відхилення та дисперсію σ² (табл. 2.2.6).

Обчислення середнього лінійнго відхилення за не згрупованими даними

l¯ = 24 / 7 = 3,4 %

За даними ряду розподілу, характеристики варіації обчислюються як середні зважені. Методика їх обчислення подана на прикладі варіації забрудненості (табл. 2.2.8)

Середнє лінійне і середнє квадратичне відхилення призначені для вимірювання варіації ознаки в сукупності. Чим менша варіація, тим менше значення цих характеристик.

Дисперсія - це середній квадрат відхилення.

За даними значення σ знайдемо дисперсію (σ²):

Статистичні характеристики варіації взаємопов'язані. Так, розмах варіації при нормальному або близькому до нормального розподілу дорівнює шістьом середнім квадратичним відхиленням R = 6 σ. Зв'язок між цими характеристиками певною мірою залежить від обсягу сукупності п і визначається за формулою σ = KR. Значення коефіцієнта К наведено в табл. 2.2.9.

Середнє квадратичне відхилення пов'язане також із середнім лінійним відхиленням. Згідно мажорантності середніх σ > l¯. Якщо обсяг сукупності достатньо великий і розподіл ознаки наближається до нормального, то σ = 1,25 l¯ або l¯ = 0,8σ.

Розглянуті абсолютні характеристики варіації - розмах варіації, середнє квадратичне і середнє лінійне відхилення - іменовані величини, мають одиниці виміру варіюючої ознаки.

При порівнянні варіації різних ознак використовуються відносні характеристики - коефіцієнти варіації, які обчислюють як відношення абсолютних характеристик варіації до характеристики центру розподілу.

За допомогою коефіцієнтів варіації проводять порівняння варіації однієї і тієї ж ознаки в різних сукупностях.

Для порівняння варіацій найчастіше використовують квадратичний коефіцієнт варіації. Цей показник вживається для оцінки однорідності сукупності, тобто надійності і типовості середньої величини. Вважають, що сукупність є однорідною, а середня - типовою, коли коефіцієнт варіації не перевищує 33%.

В нашому прикладі коефіцієнт варіації дорівнює 14,5% і свідчить про однорідність місць скиду стічних вод у відкриті водойми за станом забруднення стічних вод.

МЕТОДИ ОБЧИСЛЕННЯ ДИСПЕРСІЇ. Дисперсія займає особливе місце в статистичному аналізі. Завдяки своїм математичним властивостям вона має не тільки важливе значення при вивченні варіації, але є невід'ємним і важливим елементом інших статистичних методів аналізу, зокрема вибіркового, дисперсійного і кореляційно-регресійного.

Обчислення дисперсії за даними ряду розподілу наведено в табл.2.2.8.

Для ознак метричної шкали дисперсія є базою для обчислення середнього квадратичного відхилення σ =√σ² і залежно від наявних даних може бути простою і зваженою для даних:

В умовах широкого застосування обчислювальної техніки, зручніше вести обчислення дисперсії за формулою різниці квадратів:

Підсумовані дайні підставляємо в формулу Для згрупованих даних і отримаємо:

Виявлення закономірності розподілу, тобто закономірності зміни частот відповідно до зміни ознаки - одна з найголовніших задач аналізу рядів розподілу. Воно здійснюється за допомогою побудови графіків рядів розподілу і на цій основі виявлення форми розподілу.

Форма розподілу - це графічний образ ряду розподілу.

Графіки варіаційних рядів (полігон, гістограма) дають певну уяву про емпіричний розподіл, але вони показують дію не лише основних, а й випадкових факторів. Якщо збільшувати обсяг сукупності, зменшуючи довжини інтервалів, то графік ряду наближається до деякої кривої лінії, що називається кривою розподілу. Крива розподілу може характеризувати емпіричний або теоретичний розподіл.

Емпіричні криві розподілу — лінії на площині, які характеризують залежності між значеннями варіюючої ознаки і відповідними частотами. Вони відображають вплив на ознаки двох груп факторів: систематичних, що є основними причинами, які впливають на характер розподілу; випадкових, що часто викликають суттєві відхилення від закономірного розвитку.

Якщо звільнитися від дії випадкових факторів, то можна побудувати таку криву лінію, яка буде граничною для даної сукупності і відображатиме вплив лише основних суттєвих факторів. Ця крива називається теоретичною кривою розподілу і відображає теоретичний, граничний розподіл.

Теоретична крива розподілу - це така крива, яка відображає загальну закономірність розподілу, що проявляється при дії лише основних чинників Теоретичний розподіл утворюється при дії лише основних, істотних для даного явища причин і тому має велике значення при екологічних дослідженнях.

Порівняння емпіричного і теоретичного розподілів покаже, якою мірою сукупність, що вивчається, виражає закономірності, властиві даному явищу в конкретних умовах місця і часу в силу дії основних причин.

Дослідження закономірності розподілу складається з трьох послідовних етапів:

• встановлення загального характеру розподілу,

• вирівнювання емпіричного розподілу за теоретичною кривою розподілу,

• встановлення відповідності теоретичного розподілу емпіричному.

Встановлення загального характеру розподілу вимагає оцінки ступеня його однорідності, обчислення показників асиметрії та ексцесу.

Однорідність сукупності для розподілу близьких до нормального, встановлюють за значенням коефіцієнта варіації (V < 33%).

Асиметрія - показник ступеня скошеності (зміщення) варіант щодо центра розподілу.

де Аз - коефіцієнт асиметрії.

де А₃ – коефіцієнт асиметрії.

Найбільш точною і поширеною формулою розрахунку показника асиметрії служить нормований момент третього порядку:

де т₃ - центральний момент третього порядку:

При нормальному розподілі т₃ = 0, а, отже, Аз = 0. У випадку правосторонньої асиметрії х > х для більшості варіантів, тому A_s > 0. У випадку лівосторонньої асиметрії Аз < 0 (рис. 2.2.1). Вважається, що криві з абсолютною величиною коефіцієнта асиметрії Аз > ± 5,5 мають значне зміщення; при Аз = ±0,25 - асиметрія незначна.

Для встановлення міри відхилення від нормального розподілу, тобто кількісного виміру гостровершинності вираховують коефіцієнт ексцесу.

Ексцес - показник гостровершинності, міри стискання, розтягу варіант від центра розподілу. Він характеризує відхилення від нормального розподілу варіант із виступанням або падінням вершини кривої розподілу. При виступанні вершини ексцес називають додатним, при її падінні - від'ємним.

Гостровершинність розподілу відображає скупченість значень ознаки навколо середньої величини і називається ексцесом. На практиці часто в одному розподілі поєднуються всі названі особливості: одновершинний розподіл може бути симетричним і гостровершинним або скошеним і плосковершинним.

Для нормального розподілу Е_х=0. Якщо Е_х>0, маємо гостровершинний розподіл, при Е_х<0 - плосковершинний (рис. 2.2.2).

Коефіцієнт ексцесу (Ех) вираховується за формулою нормованого моменту четвертого порядку:

де т₄ центральний момент четвертого порядку,

Якщо величина показника ексцесу Е_х = 0,4, то крива вважається слабоексцесивною. Найбільша абсолютна величина від'ємного ексцесу становить мінус 2. При такому значенні вершина кривої опускається до осі абсцис, і крива розподілу ділиться на дві самостійні одновершинні криві.

Для кривої нормального розподілу (при х = 0 і а = 1) значення коефіцієнта ексцесу (Ех) становить 0,263. При цьому його величина обчислюється за формулою:

де Q₃, Q₁, — відповідно третя і перша квартилі; Р₉₀, Р₁₀ — дев'яностий і десятий перцентилі.

Таким чином, коефіцієнт ексцесу визначається відношенням половини розмаху між двома квартилями до різниці 90-го і 10-го перцентилей.

Різновиди форм розподілу. За своєю формою розподіли поділяють на такі види: одно-, дво- і багатовершинні. Наявність двох і більше вершин свідчить про неоднорідність сукупності, про поєднання в ній груп з різними рівнями ознаки. Розподіли якісно однорідних сукупностей, як правило, одновершинні. Серед одновершинних розподілів є симетричні і асиметричні (скошені), гостро- і плосковершинні (рис. 2.2.3).

У симетричному розподілі рівновіддалені від центру значення ознаки мають однакові частоти, в асиметричному - вершина розподілу зміщена. Напрям асиметрії протилежний напряму зміщення вершини. Якщо вершина зміщена вліво, то це правостороння асиметрія, і навпаки.

Асиметрія виникає внаслідок обмеженої варіації в одному напрямку або під впливом Домінуючої причини розвитку, яка веде до зміщення центру розподілу. В симетричному розподілі характеристики центру мають однакові значення ¯х = Ме = Мо в асиметричному між ними існують певні розбіжності:

• при правосторонній асиметрії ¯х>Ме>Мо;

• при лівосторонній асиметрії ¯х<Ме<Мо;

• Стандартизовані відхилення (показники відносної асиметрії) характеризують напрям і міру скошеності розподілу. Очевидно, що:

Використовуючи стандартизоване відхилення середньої і моди, можна оцінити симетричність розподілу промислових підприємств міст Житомирської області за наявністю викидів шкідливих речовин у атмосферу (табл. 2.2.11). Використовуючи сумарні величини, встановимо:

2.2.11 Розрахунок середньої і середнього квадратичного відхилення

Мода менша від середньої на 2,4 т (38,1-35,7). Стандартизоване відхилення A_s=2,4/12,82 = 0,19 свідчить про незначну правосторонню асиметрію розподілу. Якщо коефіцієнти асиметрії і ексцесу перевищують за абсолютною величиною число «3», робиться висновок про невідповідність емпіричного розподілу характеру нормального розподілу.

20