2.3. Угол  между прямыми, заданными уравнениями с угловым коэффициентом ( , ), определяется с помощью формулы

. (2.8)

Из (2.8) вытекают условия параллельности ( ) и перпендикулярности двух прямых ( ).

Пример 2.4. Выбрать из прямых (I) – (V) параллельные и перпендикулярные, определить угол между прямыми (I) и (VI):

(I) ; (II) ; (III) ;

(IV) ; (V) ; (VI) .

Решение. Сначала для каждой прямой найдем угловой коэффициент:

(I): ;

(II): ;

(III) ;

(IV) ;

(V) ;

(VI) .

Поскольку , , получаем, что прямые (I) и (III), (II) и (V) параллельны. С другой стороны, , а потому прямые (I) и (II) перпендикулярны (следовательно, перпендикулярны и прямые (III) и (II), (I) и (V), (III) и (V)). Чтобы найти тангенс угла между прямыми (I) и (VI), воспользуемся формулой (2.8): . Но тогда .

2.4. Составление уравнений прямых. Рассмотрим основные типы возникающих задач.

1) Записать уравнение прямой с известным угловым коэффициентом , проходящей через заданную точку . Ответом является уравнение

. (2.9)

Пример 2.5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(2,-3) и образующей с положительным направлением оси OX угол 120⁰.

Решение. Координаты точки известны, а угловой коэффициент - это тангенс угла наклона, т.е. . Подставляя в (2.9), получаем: или .

2) Записать уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно прямой . Для решения используем уравнение (2.9) и учтем, что угловые коэффициенты параллельных прямых совпадают:

. (2.10)

3) Записать уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно прямой . Угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны соотношением , поэтому . Остается подставить это в (2.10) и получить уравнение:

. (2.11)

Пример 2.6. Составить уравнения прямых, проходящих через точку A(2,-3) параллельно и перпендикулярно прямой .

Решение. Так как , то угловой коэффициента данной прямой . Чтобы составить уравнение прямой, проходящей через A(2,-3) параллельно данной прямой, воспользуемся уравнением (2.10): или . Результат можно проверить, подставив в полученное выражение координаты заданной точки: (если получили тождество, как в данном примере, уравнение правильное).

Аналогично действуем при составлении уравнения перпендикулярной прямой, только используем (2.11): , , и окончательно . Проверка: .

4) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки , , имеет вид

. (2.12)

Пример 2.7. Написать уравнение прямой, проходящей через точки A(3;3), B(-1;5).

Решение. Подставляя в (2.12) координаты данных точек, получаем:

.

Собирая теперь все в одну сторону, приходим к уравнению . Проверить результат можно, подставляя в него поочередно координаты точек (как при проверка в примере 2.6): , .

Замечание. В некоторых задачах нужно найти точку пересечения заданных прямых. Для этого решают систему уравнений, задающих эти прямые.

Пример 2.8. В треугольнике с вершинами O(0;0), A(3;3), B(-1;5) найти уравнения стороны AB, медианы AE и высоты OK, а также длину высоты OK.

Решение. Уравнения стороны AB было получено при решении примера 2.6: .Далее, по определению медианы треугольника точка E – середина отрезка BO, поэтому ее координаты можно найти по формуле (2.3):

, .

Таким образом, теперь надо составить уравнение прямой, проходящей через точки A(3;3) и E(-1/2;5/2). Подставляем их координаты в (2.12):

.

Итак, уравнение медианы AE имеет вид .

Далее, высота OK – это прямая, проходящая через вершину O перпендикулярно прямой AB. Воспользуемся уравнением (2.11). Угловой коэффициент прямой AB находим из уравнения : , поэтому . Тогда имеем: , и уравнение высоты OK .

Теперь найдем координаты K – точки пересечения построенной высоты и прямой AB. Решаем систему уравнений:

.

Итак, . В силу (2.1b) .

2.5. Полуплоскости и системы линейных неравенств. Неравенство определяет полуплоскость, лежащую ниже прямой , неравенство - полуплоскость, лежащую выше этой прямой. В обоих случаях прямая включается в полуплоскость и на рисунке изображается сплошной линией. Для строгих неравенств прямая в полуплоскость не включается и изображается пунктиром. Решить систему линейных неравенств – значит найти полуплоскости, задаваемые каждым из неравенств, и определить общую часть этих полуплоскостей. Полученное множество может быть как замкнутым, так и «неограниченным». В любом случае для завершения решения необходимо найти вершины полученной области.

Пример 2.9. Решить графически систему линейных неравенств:

a) b) .

Решение. Сначала надо построить все прямые (рассмотрев соответству-ющие равенства); затем из каждого неравенства выразить y и определить требуемую полуплоскость; затем найти пересечение найденных полуплоскостей.

В случае a) прямая проходит через точки (0;1) и (1;0), а фигурирующее в системе неравенство определяет полуплоскость, лежащую выше этой прямой ( ). Прямая проходит через начало координат и точку (1;2), соответствующая полуплоскость лежит ниже этой прямой. Наконец, третье неравенство задает полуплоскость, лежащую выше оси OX. Пересечение найденных полуплоскостей изображено на рисунке 2.1. Вершина A образована пересечением прямых и и имеет координаты A(1,0); вершина B образована пересечением прямых и , ее координаты B(1/3; 2/3).

Случай b) отличается добавленным неравенством . Результат построений изображен на рисунке 2.2. В данном случае пересечение всех полуплоскостей – замкнутая область, четырехугольник ABDC. Остается найти координаты вершин. A(1;0) и B(1/3;2/3) уже известны. Точка C – пересечение прямых , , т.е. C(2;0). Аналогично D имеет координаты D(2;4) как точка пересечения прямых , .