3.14). Решить уравнение .

Решение. Однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному имеет вид:

. Его характеристическое уравнение имеет корни , которым соответствуют частные решения , . По формуле (25) . Второе слагаемое в формуле (3.27) , т.е. некоторое частное решение данного ЛНДУ, в соответствии с приведенной выше Таблицей 3, раздел I(1), является функцией подобной правой части . А, так как среди корней характеристического уравнения нет числа , то

, (3.31)

где и - неопределенные пока коэффициенты. Найдем эти числа, подставляя функцию (3.31) в исходное уравнение, которому она должна удовлетворять. Так как , то получим равенство , или

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях последнего равенства, получим систему из трех уравнений с тремя неизвестными и .

Откуда . Поэтому , а общее решение данного уравнения: .

3.15). Решить уравнение .

Решение. Сначала решим соответствующее однородное уравнение: . Его характеристическое уравнение , или , имеет корни . Поэтому общее решение однородного уравнения записывается так: . Так как число не является корнем характеристического уравнения, то в соотвествии с разделом II (1) Таблицы 3 частное решение данного уравнения имеет вид . Для нахождения коэффициентов , и подставим эту функцию и ее производные в исходное уравнение. Сократив обе его части на , имеем .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях последнего равенства, получаем систему линейных уравнений для нахождения коэффициентов , и

,

решая которую находим , , . Итак, . По формуле (3.27) общее решение .

3.16). Решить уравнение .

Решение. Соответствующее однородное уравнение: . Его характеристическое имеет корни (Таблица 2 , раздел 3). Поэтому . По виду правой части, так как и числа нет среди корней характеристического уравнения, то . Подставляя эту функцию и ее вторую производную в исходное уравнении, получим . Отсюда , а значит . Общее решение данного уравнения имеет вид .

3.17) Решить уравнение .

Решение. Однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному, выглядит так . Его характеристическое имеет корни . Поэтому (Таблица 2 , раздел 3). По виду правой части, где и числа нет среди корней характеристического уравнения (Таблица 3, IV(1)), записываем частное решение неоднородного уравнения .

Подставляя эту функцию и ее производные в исходное уравнение, получим

. Отсюда ; . Значит

. Таким образом, общее решение данного уравнения имеет вид .

Задания для самостоятельного решения.

3.53. . 3.54. .

3.55. . 3.56. .

3.57. . 3.58. . 3.59. . .

3.60. . 3.61. .

3.62. . 3.63. .

Ответы

3.53. . 3.54. 3.55. . 3.56. . 3.57. . 3.58.

3.59. .

3.60. . 3.61. .

3.62. . 3.63. .

Контрольная № 3. Дифференциальные уравнения.

1.- 8. Определить тип и найти общие решения следующих дифференциальных уравнений.

1. Решить задачу Коши.

3. Решить методом вариации произвольной постоянной.

4. Решить методом подстановки.

6. Решить уравнение, понижая его порядок.

8. Получить общее решение уравнения, записав вид его частного решения с неопределенными коэффициентами, не вычисляя их.

Вариант 1.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 2.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 3.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 4.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 5.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 6.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 7.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 8.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 9.

1. 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 10.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 11.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 12.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 13.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 14.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 15.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 16.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 17.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 18.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 19.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 20.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 21.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 22.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 23.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 24.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 25.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 26.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 27.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 28.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 29.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

Вариант 30.

1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. .

4. Ряды.

Числовые ряды.

Числовым рядом называется сумма вида

(4.1)

где - числа, члены ряда.

- ой частичной суммой ряда (4.1) называется сумма его первых членов

.

Рассмотрим последовательность частичных сумм:

(4.2)

Если последовательность (4.2) имеет конечный предел , т.е. , то ряд (4.1) называется сходящимся, а число называют суммой ряда.

Если же последовательность (4.2) имеет бесконечный предел, или не имеет предела вообще, то ряд (4.1) называется расходящимся, и в этом случае этот ряд суммы не имеет.

Простейший пример ряда – сумма членов геометрической прогрессии:

(4.3)

Здесь - первый член прогрессии, - ее знаменатель. По формуле суммы членов геометрической прогрессии - ая частичная сумма ряда (4.3) .

При вычислении предела последовательности частичных сумм ряда (4.3) рассматриваются три случая:

- если , то при , поэтому , т.е. в этом случае (бесконечно убывающей прогрессии) ряд (4.3) сходится и его сумма ;

- если , то при и , таким образом, ряд (4.3) в этом случае расходится и суммы не имеет;

- если , то ряд (4.3) имеет вид: , а его - ая частичная сумма при , т.е. ряд (4.3) в этом случае расходится и суммы не имеет;

- если , то ряд (4.3) имеет вид: , поэтому при четном , а при нечетном . А так как последовательность частичных сумм не имеет предела, то ряд в этом случае расходится и суммы не имеет.

Вывод: бесконечно – убывающая геометрическая прогрессия ( ) имеет сумму = (4.4)

4.1). Исследовать на сходимость ряд .

Этот ряд представляет собой сумму бесконечно – убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем . Потому он сходится и его сумма .

Свойства числовых рядов.

1. Если ряд сходится, имеет сумму , то ряд , где - заданное число, также сходится и его сумма равна .

2. Если ряды и сходятся, имеют суммы и , то ряд также сходится и имеет сумму .

Аналогично, ряд также сходится и имеет сумму .

3. Если сходится ряд , то сходится и ряд ,

полученный из данного отбрасыванием его первых членов. Верно и обратное.

Необходимый признак сходимости и достаточный признак расходимости ряда.

Необходимый признак сходимости. Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при ( - необходимое условие сходимости).

Доказательство. Поскольку ряд сходится, то последовательность его частичных сумм имеет конечные предел при : . При этом последовательность очевидно также сходится, и имеет тот же предел: . А так как , то . Что и требовалось доказать.

Достаточный признак расходимости. Если , т.е. общий член ряда не стремится к нулю при , то ряд расходится.

Доказательство от противного. Предположим, что ряд сходится, тогда по необходимому признаку его общий член стремится к нулю при . Но это противоречит условию. Потому данный ряд расходится.

4.2). Исследовать на сходимость ряд .

Проверим выполнение необходимого условия сходимости для этого ряда.

. Поэтому данный ряд расходится.

4.3). Исследовать на сходимость ряд .

Необходимое условие сходимости для этого ряда выполнено: . Но, так как

, т.е. , то . Таким образом, данный ряд расходится. Этот пример показывает, что хотя признак является необходимым, но он недостаточен для сходимости ряда.

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.

Ряд

(4.5)

с положительными членами называется знакоположительным .

Последовательность частичных сумм такого ряда , , …, ,....

является возрастающей последовательностью. А для такой последовательности имеются две возможности: 1. последовательность частичных сумм неограниченна, тогда , т.е. ряд расходится; 2. последовательность частичных сумм ограничена, для . Это означает, что существует конечный предел такой последовательности , т.е. ряд сходится. Перечислим несколько достаточных признаков сходимости знакоположительных рядов.

Даны два знакоположительных ряда

(4.6)

(4.7)

Первый признак сравнения. Если , , то из сходимости ряда (4.7) следует сходимость ряда (4.6). А из расходимости ряда (4.6) следует расходимость ряда (4.7).

Второй признак сравнения. Если существует конечный предел , то ряды (4.6) и (4.7) сходятся и расходятся одновременно.

Признак Даламбера. Если для знакоположительного ряда (4.5) существует конечный или бесконечный предел , то ряд (4.5) сходится при и расходится при .

4.4). Исследовать на сходимость ряд

Вычислим предел отношения . Так как , то данный ряд сходится по признаку Даламбера.

Радикальный признак сходимости. Если для знакоположительного ряда (4.5) существует конечный или бесконечный предел , то при ряд сходится. А при ряд расходится.

4.5). Исследовать на сходимость ряд .

Следуя радикальному признаку сходимости вычислим предел . Так как

, то данный ряд сходится.

Интегральный признак сходимости Коши. Дан знакоположительный ряд (4.5), члены которого не возрастают, функция - непрерывная, невозрастающая и такая, что ,

. Тогда ряд (4.5) и несобственный интеграл сходятся и расходятся одновременно.

4.6). Исследовать на сходимость ряд , называемый гармоническим.

Для этого ряда выполнено необходимое условие сходимости: . Но, пользуясь интегральным признаком сходимости Коши, можем утверждать, что сходимость или расходимость этого ряда обусловлена сходимостью или расходимостью несобственного интеграла , где . Ранее, в примере 1.30), было показано, что несобственный интеграл расходится. А это означает, что и данный гармонический ряд тоже расходится.

4.7). Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд

(4.8)

Следуя интегральному признаку сходимости Коши составим функцию . В примере 1.31) было показано, что несобственный интеграл сходится при , а, значит, сходится и обобщенный гармонический ряд (4.8). При интеграл расходится, потому и ряд (4.8) тоже расходящийся.

Теперь очевидно, что, например, ряд сходится как обобщенный гармонический при . А ряд - расходится как обобщенный гармонический при .

Знакопеременные ряды.

Ряд

(4.9)

с членами разных знаков называется знакопеременным рядом.

Знакопеременный ряд (4.9) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

(4.10)

составленный из абсолютных значений его членов.

Знакопеременный сходящийся ряд (4.9) называется условно сходящимся, если ряд (4.10) расходится.

Всякий абсолютно сходящийся ряд является в то же время и сходящимся рядом.

Знакочередующийся – это ряд, знаки членов которого строго чередуются:

(4.11)

Здесь - положительные числа.