Лекція №7. Формула Остроградського – Ліувілля. Лінійні однорідні рівняння з постійними коефіцієнтами

1. Формула Остроградського – Ліувілля та її застосування для розв’язку рівняння другого порядка.

Теорема (Остроградського – Ліувілля). Нехай дано однорідне рівняння

y +p (x)y +…+p (x)y=0, де p …p –неперервні на [a;b] і (y ,…,y )–фундаментальна система рішень, тоді справедлива формула W(х)=с , (с – довільна константа), або W(х)= W( ) _.

Доведення. Враховуючи властивості визначника і диференціювання, а також той факт, що y ,…,y є рішення даного рівняння, отримаємо

.

Отже, визначник Вронского задовольняє наступне рівняння W′ = - p (x)W. Розв’язуючи яке будемо мати W(x) = с , або W(x) = W( )с _.

Зауваження. Розглянемо y′′+p (x)y′+p (x)y=0 – рівняння другого порядку, тоді, якщо у - будь-який розв’язок рівняння, то можна знайти загальне рішення в такий спосіб. Нехай у - загальне рішення, розглянемо рівність

.

Отже, відносно у отримаємо рівняння першого порядку yy′ - y′y =c _{, розв’язуючи яке знайдемо загальний розв’язок вихідного рівняння.}

Приклад. y′′+y′ - =0. За допомогою підстановки легко довести, що y=x рішення рівняння. Відповідне рівняння для загального рішення даного рівняння має вид y -y′x= – лінійне рівняння першого порядку. Для його розв’язку знайдемо розв’язок рівняння y′x=y або . Отже y=cx. Загальний розв’язок рівняння шукаємо у вигляді y=c(x) x, де c(x) невідома функція. Підставляючи цей y у рівняння отримаємо

c′x²+c(x) x – c(x) x+ =0, тобто c′= . Отже c(x) = dx і y= dx.

Зауваження. Аналогічно можна застосовувати формулу і у випадку рівняння n-го порядку коли відомі будь-які незалежні рішення рівняння, що буде приводити до зниження порядка рівняння на 1.

2. Лінійні однорідні рівняння з постійними коефіцієнтами.

Задача знаходження фундаментальної системи рішень, а отже й загального рішення, спрощується у випадку рівняння з постійними коефіцієнтами.

Означення. Рівняння виду y +a y +…+a y=0, де а ,…,а – довільні константи, називається лінійним однорідним рівнянням з постійними коефіцієнтами.

Рішення рівняння шукають у вигляді у= . Підставляючи у= у рівняння отримаємо, що k задовольняє рівнянню kⁿ+a k +…+a =0.

Означення. Рівняння kⁿ+a k +…+a =0 називають характеристичним рівнянням для даного диференціального рівняння.

Існує декілька випадків відносно розв’язка характеристичного рівняння.

1. Характеристичне рівняння має n різних дійсних коренів . Розглянемо функції у = ,…, у = усі вони є рішеннями даного диференціального рівняння і лінійно незалежні, оскільки

.

Отже у = ,…, у = - фундаментальна система рішень і у=с +…+с – загальне рішення лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами.

2. Припустимо, що якийсь корінь ki дійсний, але має кратність p. Тоді – лінійно незалежна система функцій, які також являються рішеннями вихідного рівняння, що не важко перевірити підставляючи їх у рівняння, враховуючи кратність ki . Загальний розв’язок рівняння будується аналогічно 1 з урахуванням вище сказаного.

3. Припустимо, що характеристичне рівняння має комплексний корінь k =α+βi, тоді спряжене число k =α-βi теж корінь характеристичного рівняння. Цім кореням відповідають дві функції , _{в фундаментальній системі розв’язків.}

Скористувавшись формулами Ейлера ці функції можна замінити на дійснозначні. Оскільки

= (cosβx+isinβx) _, = (cosβx-isinβx) , то ,

, або у = cosβx , у =sinβx – рішення рівняння і лінійно незалежні. Загальний розв’язок будується аналогічно 1.

4. Якщо комплексний корінь k =α+βi має кратність p, спряжений корінь k =α-βi теж має кратність p. Тоді аналогічно випадкам 2 і 3 цім кореням відповідає система лінійно незалежних рішень рівняння:

cosβx , xcosβx ,…, cosβx , sinβx ,xsinβx ,…, sinβx _{, за допомогою яких і будується загальне рішення.}