Розділ б.3 задача з теорії марковських ланцюгів з неперервним часом

Б.3.1 Постановка задачі

Розглядається процес роботі ЕОМ. Потік відмов (збоїв) працюючої ЕОМ – найпростіший з інтенсивністю . Якщо ЕОМ дає збій, то він негайно виявляється, і обслуговуючий персонал приступає до ремонту. Закон розподілу часу ремонту – показниковий з параметром : . У початковий момент часу ЕОМ справна.

Знайти:

1) ймовірність того, що у момент часу ЕОМ працюватиме;

2) ймовірність того, що за час ЕОМ дасть хоча б один збій;

3) фінальні ймовірності станів ЕОМ.

Б.3.2 Розв'язання задачі

1) Стани системи (ЕОМ) наступні: – система справна, працює; – система несправна, ремонтується. Розмічений граф станів даний на рис. Б.3.1.

Рис. Б.3.1

По графу станів, див. мал. Б.3.1, і формулі (Б.2.3) складаємо систему диференціальних рівнянь Колмогорова для ймовірністей станів і

(Б.3.1)

10

З двох рівнянь системи (Б.3.1) одне (будь-яке) може бути відкинуте, оскільки для будь-якого моменту по формулі (Б.2.2) маємо . Підставляючи в перше з рівнянь системи (Б.3.1) , одержуємо одне диференціальне рівняння відносно :

. (Б.3.2)

Розв’язуємо одержане рівняння:

У початковий момент часу ЕОМ справна. Тому рівняння (Б.3.2) розв’язуємо за початкової умови , одержимо:

,

.

Остаточно маємо, що:

, (Б.3.3)

звідки

. (Б.3.4)

2) Для знаходження ймовірності того, що за час ЕОМ дасть хоча б один збій, введемо нові стани системи : – ЕОМ жодного разу не давала збою; – ЕОМ хоча б один раз дала збій. На рисунку Б.3.2 даний розмічений граф станів цієї системи.

11

Рис. Б.3.2

Стан буде поглинаючим, тобто, з нього немає виходу, див. рис Б.3.2. Отже, для розв’язування задачі достатньо одного диференціального рівняння Колмогорова. У нашому випадку його вигляд:

.

Розв’язуємо рівняння за початкової умови (оскільки в початковий момент система знаходиться у стані ). Одержимо:

,

звідки

.

Отже, ймовірність того, що за час ЕОМ дасть хоча б один збій, дорівнює

3) Фінальні ймовірності станів ЕОМ, відповідно до розділу Б.2, можна одержати, розв’язавши систему (Б.3.1), якщо покласти в ній: . Маємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

(Б.3.5)

Враховуючи, що , залишимо тільки одне рівняння системи (Б.3.5) (будь-яке)

,

звідси

.

12

Тоді

.

Отже, фінальні ймовірності станів ЕОМ:

,

.

13

Висновок

У даній курсовій роботі обчислені ймовірності станів ЕОМ, а також її фінальні ймовірності. ЕОМ переходить із стану в стан під дією найпростіших потоків подій. Тому процеси, що відбуваються в системі (ЕОМ) розглядаються як марківські ланцюги з неперервним часом. Для того, щоб знайти ймовірності станів системи, був побудований розмічений граф станів системи. Виходячи з графа станів, одержана система диференціальних рівнянь Колмогорова, розв’язок якої дозволив знайти шукану ймовірність.

Певні труднощі виникли, коли обчислювалася ймовірність того, що за час ЕОМ дасть хоча б один збій. В цьому випадку довелося вводити нові стани системи.

Фінальні ймовірності, в нашій роботі, також обчислювалися за допомогою системи диференціальних рівнянь Колмогорова. Проте можна було б діяти інакше: обчислити границю (Б.2.6) від ймовірностей станів (Б.3.3) і (Б.3.4). Значення кожної фінальної ймовірності дозволяє судити про середній відносний час перебування системи в даному стані. Це є вельми важливим чинником для прогнозування роботи системи.

Методи, розглянуті в роботі, можна використовувати при розв’язанні деяких економічних задач, в системах масового обслуговування, в задачах прогнозування і т. ін.

14