Содержание задания

1. По заданным входным и выходным величинам x и y построить R_xy(), R_xx(), считая  = 0; 1t’; 2t’; …; 6t’;

2. Определить ₀ и _эз;

3. Определить требуемое время наблюдения и объём экспериментальных данных;

4. По заданным коэффициентам уравнения регрессии построить и проверить адекватность модели по коэффициенту  и R.

Примечание:

1. Связь между величиной Y и факторами X_j имеет вид :

2.3. Композиционное планирование и обработка результатов активного эксперимента

И ногда линейные модели, построенные на основе полного факторного эксперимента (ПФЭ) и дробного факторного эксперимента (ДФЭ) не удовлетворяют условию адекватности. Тогда переходят к более сложным квадратичным моделям, которые требуют увеличения объёма проведения опытов. Целесообразным построением плана эксперимента является включение точки плана линейной модели. Такие планы сокращают объём эксперимента и называются композиционными планами второго порядка. В качестве ядра в них используются планы ПФЭ и ДФЭ, кроме того, они дополняются блоками, включающими «звёздные точки» () и нулевые или центральные точки (0).

На рисунке 1 приведён композиционный план для числа факторов п=3. Точки 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 – ядро плана (ПФЭ N=2³=8); точки 9; 10; 11; 12; 13; 14 – «звёздные точки», расположенные на координатных осях на расстоянии  от центра плана (точка 15). Число «звёздных точек» равно 2n. Композиционные планы строятся по критериям ортогональности и ротатабельности.

Ортогональное центральное композиционное планирование (оцкп)

Критерий ортогональности используется для обеспечения независимости коэффициентов модели. Это означает, что исключение фактора из уравнения модели за счёт замены нулём коэффициента при соответствующем факторе не изменит значений оценок оставшихся коэффициентов, что весьма важно, так как точный вид модели не известен и приходится использовать экспериментальные данные для оценки факторов, существенно влияющих на выходную переменную и проверять статистическую значимость коэффициентов уравнения регрессии. В ОЦКП критерием оптимальности плана является ортогональность столбцов матрицы планирования. В силу ортогональности планирования все коэффициенты регрессии определяются независимо друг от друга. Ядром плана является ПФЭ (при n ≤ 4) либо ДФЭ (при n > 4).

1. Общее число точек плана эксперимента:

, (1)

где N_o – число центральных (нулевых) точек; 2^n-p – число точек ДФЭ; n – число факторов x_j. Ядро плана представляет ПФЭ при n4 и при степени ДФЭ р=0.

2. Для обеспечения ортогональности планирования вводится коэффициент :

, (2)

где  - размер «звёздного» плеча.

3. Проверка гипотезы воспроизводимости опытов проводится по критерию Кохрена^, а адекватность модели – с помощью F-критерия как для модели ПФЭ, так и для модели ДФЭ.

4. Оценки коэффициентов уравнения регрессии рассчитываются так:

(3)

где С₁, С₂, С₃ – элементы дисперсионной матрицы плана, зависящие от числа факторов п. Статистическая значимость коэффициента уравнения регрессии оценивается по t- критерию Стьюдента с количеством степеней свободы f = N(m-1):

(4)

Если найденный t- критерий для соответствующей оценки коэффициента регрессии окажется больше критического при заданном уровне значимости и числе степеней свободы, то коэффициент уравнения регрессии считается значимым.

5. Дисперсии соответствующих коэффициентов регрессии:

(5)

где S_y – оценка дисперсии воспроизводимости:

(6)

6. Уравнение регрессии записывается в следующей форме:

, (7)

Нулевой коэффициент уравнения регрессии и его дисперсия:

(8)

где С₀ – элемент дисперсионной матрицы.

Параметры коэффициентов ОЦКП приведены в таблице 1:

Таблица 1

Число факторов	Ядро плана			N	N0	NС	N	C0	C1	C2	C3
2	22	1,0	0,6667	4	1	4	9	0,1111	0,1667	0,25	0,5
3	23	1,215	0,73	6	1	8	15	0,0667	0,0313	0,125	0,2298
4	24	1,414	0,8	8	1	16	25	0,04	0,05	0,0625	0,125
5	25-1	1,547	0,77	10	1	16	27	0,3704	0,0481	0,0625	0,0871
6	26-1	1,722	0,843	12	1	32	45	0,0222	0,0264	0,0312	0,0564
7	27-1	1,885	0,9	14	1	64	79	0,0127	0,0141	0,0156	0,0389
8	28-2	2,001	0,8889	16	1	64	81	0,0123	0,0139	0,0156	0,0312

 - размер звёздного плеча;  - коэффициент, обеспечивающий ортогональность; N_ - число «звёздных» точек; N₀ – число центральных (нулевых) точек; N_С – число наблюдений при ПФЭ или ДФЭ; N – общее число точек.