5.3. Задание для самостоятельной работы

Самостоятельно очертить задачу и определить цель плана. Построить дерево иерархии, содержащее не менее трех уровней, от четырех до семи критериев и не менее трех альтернатив. Применить к поставленной задаче метод МАИ для выбора наиболее желательной альтернативы.

Практика №4

Сетевой анализ проектов. Метод срм Цели

В данной главе показаны возможности использования метода СРМ (Critical Path Method — метод критического пути) для контроля сроков выполнения проекта. Таким проектом может быть разработка нового продукта или производственного процесса, строительство предприятия, здания или сооружения, ремонт сложного оборудования и т.д.

При реализации проекта составляется график выполнения работ. Для того чтобы проект был завершен вовремя, необходимо контролировать сроки выполнения этих работ. Усложняющим фактором является то, что работы взаимосвязаны. Одни работы зависят от выполнения других и не могут начаться, пока предшествующие работы не будут завершены.

Важной предпосылкой применения метода СРМ является предположение о том, что время

выполнения каждой работы точно известно. В результате использования метода СРМ удается получить ответы на следующие вопросы:

1. За какое минимальное время можно выполнить проект?

2. В какое время должны начаться и закончиться отдельные работы?

3. Какие работы являются «критическими» и должны быть выполнены точно в установленное время, чтобы не был сорван срок выполнения проекта?

4. На какое время можно отложить срок выполнения «некритической» работы, чтобы она не повлияла на срок выполнения проекта в целом?

После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь определять и использовать для экономического анализа:

• наиболее раннее и наиболее позднее время начала работы;

• наиболее раннее и наиболее позднее время окончания работы;

• критический путь;

• длину критического пути;

• запас времени на выполнение работы.

Модели

Исходным шагом для применения метода СРМ является описание проекта в виде перечня выполняемых работ с указанием их взаимосвязи. Для описания проекта используются два основных способа: табличный и графический.

Рассмотрим следующую таблицу, описывающую проект:

В первом столбце указаны наименования всех работ проекта. Их четыре: А, В, С, D. Во втором столбце указаны работы, непосредственно предшествующие данной. У работ А и В нет предшествующих. Работе С непосредственно предшествует работа В. Это означает, что работа С может быть начата только после того, как завершится работа В. Работе D непосредственно предшествуют две работы: А и С. Это означает, что работа D может быть начата только после того, как завершатся работы А и С. В третьем столбце таблицы для каждой работы указано время ее выполнения. На основе этой таблицы может быть построено графическое описание проекта (рис. 1).

Рис. 1

На рис. 1 проект представлен в виде графа с вершинами 1,2, 3, 4 и дугами А, В, С, D. Каждая вершина графа отображает событие. Событие 1 означает начало выполнения проекта. Иногда такое событие обозначают буквой s (start). Событие 4 означает завершение проекта. Для обозначения такого события иногда используют букву f( finish). Любая работа проекта — это упорядоченная пара двух событии. Например, работа А есть упорядоченная пара событий (1, 3)(см. рис. 1). Работа D — упорядоченная пара событий (3,4). Событие проекта состоит в том, что завершены все работы, «входящие» в соответствующую вершину. Например, событие 3 состоит в том, что завершены работы А и С.

Рассмотрим другой проект, представленный следующей таблицей:

80

Работа	Непосредственно предшествующие работы	Время выпол­нения
А	-	tA
В	-	tB
С	В	tC
D	А, С	tD
Е	С	tE
F	С	tF
G	D,E,F	TG

Графическое описание проекта, построенное по этой таблице, имеет вид, показанный на рис. 2.

Рис.2

В этом графическом описании проекта, кроме тех работ, которые указаны в таблице, использованы две «фиктивные» работы (3, 4) и (5, 6). На рисунке они показаны штриховыми линиями. Эти работы не требуют времени на их выполнение и используются в графическом представлении проекта лишь для того, чтобы правильно отобразить взаимосвязь между работами. Получив графическое представление проекта, мы обеспечили себе возможность провести расчеты методом СРМ.

Определения:

Путь — последовательность взаимосвязанных работ, ведущая из одной вершины проекта в другую вершину. Например, {A, D, G} и {В, С, Е, С} — два различных пути, ведущие из вершины 1 в вер­шину 7 (см. рис. 2).

Длина пути — суммарная продолжительность выполнения всех работ пути.

Критический путь — путь, суммарная продолжительность выполнения всех работ которого является наибольшей.

Ясно, что минимальное время, необходимое для выполнения любого проекта, равно длине критического пути. Именно на работы, принадлежащие критическому пути, следует обращать особое внимание. Если такая работа будет отложена на некоторое время, то и срок окончания проекта будет отложен на то же время. Если необходимо сократить время выполнения проекта, то в первую очередь нужно сократить время выполнения хотя бы одной работы на критическом пути.

Для того чтобы найти критический путь, достаточно перебрать все пути и выбрать тот или те из них, что имеют наибольшую суммарную продолжительность выполнения работ. Однако для больших проектов реализация такого подхода связана с вычислительными трудностями. Метод СРМ позволяет получить критический путь намного проще.

Пусть i и j — вершины, или события, проекта, (i,j) — работа проекта, s — событие «начало проекта» (start), f — событие «окончание проекта» (finish), Т — длина критического пути.

Введем следующие обозначения:

t(i,j) — время выполнения работы (i, j);

ES(i,j) —наиболее раннее время начала работы (i,j);

EF(i,j) —наиболее раннее время окончания работы (i,j);

LS(i,j) —наиболее позднее время начала работы (i,j),

LF(i,j) — наиболее позднее время окончания работы (i,j),

E_i — наиболее раннее время наступления события i;

L_i — наиболее позднее время наступления события i;

R(i,j) — полный резерв времени на выполнение работы (i,j) (время, на которое может быть отложена работа (i,j) без увеличения продолжительности выполнения всего проекта);

r(i,j) — свободный резерв времени на выполнение работы (ij) (время, на которое может быть

отложена работа (i,j) без увеличения наиболее раннего времени E_t наступления последующего

события/). Если (i,j) — работа проекта, то имеют место соотношения: для любого j ES(ij) = Е; для любого i LF(i,j) = Ц. Для того чтобы использовать метод СРМ для нахождения критического пути, необходимо для каждой

работы (ij) определить наиболее раннее время начала и окончания работы (ES(ij) и EF(ij)) и

н аиболее позднее время начала и окончания работы (LS(ij) и LF(ij)). Метод СРМ описывается следующими соотношениями:

(1)

для любой работы (sj), выходящей из стартовой вершины s проекта;

EF _(I,j) = ES_(i,j)+t_(i,j)=E_i+t_(i,j)(2)

(3)

т .е. наиболее раннее время окончания любой работы (i,j) превышает наиболее раннее время начала этой работы (время наступления предшествующего события i) на время ее выполнения;

из значений наиболее раннего, т.е. наиболее раннее время начала работы (q, j) равно наибольшему времени окончания непосредственно предшествующих ей работ;

(4)

т.е. длина критического пути равна наиболее раннему времени завершения проекта;

( 5)

т.е. наиболее позднее время окончания любой работы, завершающей проект, равно длине критического пути;

(6)

т.е. наиболее позднее время начала любой работы меньше наиболее позднего времени окончания этой

р аботы (времени наступления последующего события) на время ее выполнения;

( 7)

т.е. наиболее позднее время окончания работы (/, q) равно наименьшему из значений наиболее позднего времени начала непосредственно следующих за ней работ;

(8)

т .е. полный резерв времени на выполнение любой работы равен разности между наиболее поздним и наиболее ранним временем ее начала или разности между наиболее поздним и наиболее ранним временем ее окончания;

(9)

(9)

т.е. свободный резерв времени на выполнение любой работы равен разности между наиболее поздним временем наступления последующего события и наиболее ранним временем окончания работы.

Из приведенных выше определений и соотношений непосредственно вытекают следующие утверждения:

1. Длина критического пути равна Т.

2. Если R(i,j) = 0, то работа (i,j) лежит на критическом пути; если R(i,j) > 0, то работа (i,j) не лежит на критическом пути.

3. Если время начала работы (i,j), не лежащей на критическом пути, отложить на срок меньший, чем r(i,j), то наиболее раннее время наступления последующего события не изменится.

4. Если время начала работы (i,j), не лежащей на критическом пути, отложить на срок меньший, чем R(i,j), то время, необходимое на выполнение всего проекта, не увеличится.

Примеры Пример 1. Реконструкция торгового центра.

Департамент Юго-Западного округа Москвы рассматривает возможность реконструкции торгового центра у станции метро «Юго-Западная». После сноса старых палаток проектом предусматривается

82 строительство павильонов для сдачи их в аренду торговым фирмам. Работы, которые необходимо выполнить при реализации проекта, а также их взаимосвязь и время выполнения указаны в следующей таблице:

Вопросы:

1. Сколько работ на критическом пути?

2. Какова длина критического пути?

3. На сколько недель можно отложить начало выполнения работы Е, чтобы это не повлияло на срок выполнения проекта?

4. На сколько недель можно отложить начало выполнения работы В, чтобы это не повлияло на срок выполнения проекта (полный резерв времени)?

5. На сколько недель можно отложить начало выполнения работы С, чтобы это не изменило наиболее поздний срок наступления последующего события (свободный резерв времени)?

Решение. Для того чтобы определить срок выполнения проекта, достаточно найти длину критического пути. Для этого построим графическое представление проекта (рис. 3).

Рис.3 Критический путь для этого проекта может быть найден с помощью прямых расчетов по методу СРМ, описанному в разделе «Модели». Те же результаты можно получить, воспользовавшись программой POMWIN. Для этого достаточно ввести в программу исходную информацию, описывающую проект в виде следующей таблицы:

Результаты расчетов будут представлены в виде следующей таблицы:

Project	26
Работа	Время вы­полнения, недели	ES	EF	LS	LF	R
A	5	0	5	0	5	0
В	6	0	6	6	12	6
С	4	5	9	8	12	3
D	3	5	8	7	10	2
Е	1	5	6	5	6	0
F	4	6	10	6	10	0
G	14	10	24	10	24	0
H	12	9	21	12	24	3
I	2	24	26	24	26	0

Эта таблица содержит информацию, позволяющую ответить на все вопросы задачи. Строка «Project 26» указывает на то, что длина критического пути равна 26. На критическом пути лежат все работы, значения резерва времени которых, указанные в последнем столбце, равны нулю. Это работы А, Е, F, G, I.

Таким образом, если отложить начало работы Е, то срок выполнения проекта увеличится. В то же время работу В можно начать не в нулевой момент времени, а в момент 6, т.е. начало выполнения работы В можно отложить на 6 недель. Критический путь для этого проекта показан на рис. 4 полужирными стрелками.

Рис. 4

Возможен другой способ введения исходной информации в программу POMWIN. Этот способ использует графическое представление проекта и как следствие описывает дуги в виде пары вершин. Соответствующее описание проекта приведено в следующей таблице:

Результаты расчетов будут представлены в виде следующей таблицы:

Project	26
Работа	Началь­ная вер­шина	Конеч­ная вер­шина	Время выполне­ния, не­дели	£5	EF	15	LF	R
A	1	2	5	0	5	0	5	0
В	1	3	6	0	6	б	12	6
С	2	3	4	5	9	8	12	3
D	2	5	3	5	8	7	10	2
Е	2	4	1	5	6	5	6	0
F	4	5	4	6	10	6	10	0
G	5	6	14	10	24	10	24	0
H	3	6	12	9	21	12	24	3
I	6	7	2	24	26	24	26	0

Ответы: 1. Пять работ. 2. 26 недель. 3. Начало выполнения работы E отложить нельзя. Ответ — 0. 4. На шесть недель. 5. На три недели.

Вопросы Вопрос 1. Метод СРМ разработан для:

1. описания проектов путем указания всех работ, предшествующих данной работе;

2. описания проектов путем представления каждой работы в виде пары узлов сети;

3. минимизации издержек на сокращение продолжительности проекта;

4. нахождения критического пути для проектов с заданным временем выполнения каждой работы;

5. нахождения критического пути для проектов с неопределенным временем выполнения работ. Вопрос 2. Узел-событие сетевого графика выражает результат:

1. начаты все работы, выходящие из узла;

2. закончены все работы, входящие в узел;

3. начата хотя бы одна работа, выходящая из узла;

4. закончена хотя бы одна работа, входящая в узел;

5. закончены все работы, входящие в узел, и начата хотя бы одна работа, выходящая из узла. Вопрос 3. Наиболее раннее время наступления события равно:

1. минимальной длине пути из данного узла в конечный;

2. максимальной длине пути из данного узла в конечный;

3. максимальной длине пути из начального узла в данный;

4. максимальному времени наиболее раннего окончания работ, входящих в данный узел;

5. минимальному времени наиболее позднего начала работ, выходящих из данного узла. Вопрос 4. Наиболее позднее время наступления события равно:

1. Минимальной длине пути из данного узла в конечный;

2. максимальной длине пути из данного узла в конечный;

3. максимальной длине пути из начального узла в данный;

4. максимальному времени наиболее раннего начала работ, выходящих из данного узла;

5. минимальному времени наиболее позднего начала работ, выходящих из данного узла. Вопрос 5. Для того чтобы сократить время выполнения проекта, необходимо:

1. сократить время выполнения каждой работы на критическом пути;

2. сократить время выполнения одной работы на критическом пути;

3. сократить время выполнения каждой работы проекта;

4. сократить время выполнения одной работы проекта;

5. увеличить длину критического пути. Вопрос 6. Полный резерв времени выполнения работы равен разности между:

1. наиболее поздним и наиболее ранним временем ее начала;

2. наиболее ранним временем ее начала и наиболее ранним временем ее окончания;

3. наиболее поздним временем ее начала и наиболее поздним временем ее окончания;

4. наиболее ранним временем ее окончания и наиболее поздним временем ее начала;

5. наиболее поздним временем ее окончания и наиболее ранним временем ее начала.

Задачи

Задача 1. Экономический факультет МГУ разрабатывает новую программу для повышения квалификации преподавателей, обучающих количественным методам анализа экономики. Желательно, чтобы эту программу можно было реализовать в наиболее сжатые сроки. Имеются существенные взаимосвязи между дисциплинами, которые необходимо отразить, составляя расписание занятий. Например, методы управления проектами PER Т/ СРМ должны рассматриваться лишь после того, как слушатели обсудят различные аспекты (коммерческие, финансовые, экономические, технические и др.) проектного анализа, связанные с жизненным циклом проекта.

Дисциплины и их взаимосвязь указаны в следующей таблице:

Найдите минимальное время, за которое можно выполнить программу. Вопросы:

1. Какова длина критического пути?

2. Какое количество дисциплин находится на критическом пути?

3. Каков резерв времени изучения дисциплины f? Задача 2. Консалтинговая компания «Системы управленческих решений» специализируется на

разработке систем поддержки проектов. Компания заключила контракт на разработку компьютерной системы, предназначенной для помощи руководству фирмы при планировании капиталовложений. Руководитель проекта разработал следующий перечень взаимосвязанных работ:

Окончание таблицы

Постройте графическое представление проекта. Используйте метод СРМдля нахождения критического пути. Вопросы:

1. Какова длина критического пути?

2. Сколько работ находится на критическом пути?

3. Каков резерв выполнения работы F?

Задача 3. Рассмотрите следующий проект:

Найдите критический путь. Вопросы:

1. За какое минимальное время может быть выполнен проект?

2. Сколько работ находится на критическом пути?

3. На сколько недель можно отложить выполнение работы D без отсрочки завершения проекта в целом?

4. На сколько недель можно отложить выполнение работы С без отсрочки завершения проекта в целом?

Задача 4. Проект пусконаладки компьютерной системы состоит из восьми работ. Непосредственно

предшествующие работы и продолжительность выполнения работ указаны в следующей таблице:

Найдите критический путь. Вопросы:

1. Сколько времени потребуется для выполнения проекта?

2. Сколько работ на критическом пути?

3. Чему равно наиболее раннее время начала работы С?

4. На сколько дней можно отложить выполнение работы С без отсрочки завершения проекта в целом?

87

5. Чему равно наиболее позднее время окончания работы F?

6. На сколько дней можно отложить выполнение работы F без отсрочки завершения проекта?

Задача 5. Московский государственный университет рассматривает предложение о строительстве новой

библиотеки. Работы, которые следует выполнить перед началом строительства, представлены ниже:

Найдите критический путь. Вопросы:

1. Сколько работ находится на критическом пути? (Фиктивные работы не учитываются.)

2. Через какое минимальное время после принятия решения о реализации проекта можно начать работу по строительству библиотеки?

3. На сколько недель можно отложить выбор архитектурной мастерской?

4. Чему равно наиболее позднее время завершения работы по обеспечению финансирования?

5