3. Обработка косвенных измерений

Пусть u= f(x, y,…) - функциональная зависимость между измеряемой величиной u и величинами x, y , ,... , значения которых найдены прямыми измерениями. Действительное значение определяется как:

. (9)

Получим выражение для погрешности ∆u. Если зафиксировать значения всех аргументов кроме одного, например x, то приращение функции при изменении ее аргумента имеет вид:

. (10)

Если значение ∆x мало, то в интервале [ , ] функцию u= f( x) можно считать линейной и

. (11)

Величина ∆_xu характеризует погрешность ∆u, обусловленную погрешностью ∆x. Аналогично определяются составляющие погрешности ∆u, вносимые другими аргументами. Полная погрешность ∆u косвенных измерений u вычисляется либо с помощью квадратичного суммирования либо суммирования по модулю ее составляющих, вносимых каждым аргументом:

. (12)

. (13)

Соотношения (12) применяется в том случае, когда выполняются два условия. Во-первых, погрешность аргументов обусловлена влиянием многих факторов, среди которых нет преобладающего фактора. Во-вторых, погрешности аргументов статистически не связаны. В остальных случаях используется соотношение (13). Однако правило суммирования (13) часто приводит к завышенному значению погрешности косвенных измерений. Более подробные сведения о суммирования погрешностей приведены в разделе 8.

Пример. Пусть значение сопротивления на участке цепи постоянного тока определяется по результатам прямых измерений тока и напряжения на этом участке. Если погрешность измерения тока и напряжения обусловлены влиянием многих факторов (температуры, внутренних сопротивлений амперметра и вольтметра, электрических наводок, нестабильности источника питания и др.), то при суммировании погрешностей лучше использовать формулу (12). Если погрешность прямых измерений обусловлена в основном случайным изменением внутреннего сопротивлением источника питания, то лучше применить формулу (13).

Соотношения (9-12) позволяют использовать два алгоритма обработки косвенных измерений. В одном из них необходимо найти аналитические выражения для частных производных, в другом - используются только численные методы. В приложении 3 приведены формулы для вычисления погрешности первым способом для некоторых часто встречающихся на практике функциональных связей.

Алгоритм обработки косвенных измерений

1. По известной зависимости измеряемой величины

от её аргументов, значения которых найдены с

помощью прямых измерений, вычислить

действительное значение функции - формула (9)

2. Вычислить составляющие погрешности как

приращения функции по каждому аргументу - формула (10)

или

найти частные производные по всем аргументам

и вычислить составляющие погрешности - формула (11)

3. Вычислить полную погрешность функции - формула (12)

формула (13)