4. Обратные тригонометрические функции комплексного переменного.
Обратные тригонометрические функции определяются как обратные к соответствующим тригонометрическим функциям.
Если
,
то
называется арксинусом
числа
и обозначается
Если
,
то
называется арккосинусом
числа
и обозначается
Если
,
то
называется арктангенсом
числа
и обозначается
Если
,
то
называется арккотангенсом
числа
и обозначается
Справедливы следующие формулы
(18)
(19)
(20)
(21)
Докажем справедливость формулы (18).
Если
,
то
,
,
откуда
или
.
Из последнего
уравнения имеем
или
,
откуда
и
.
В
силу многозначности логарифма функция
является многозначной
функцией.
Докажем следующее утверждение.
Если
действительное число и
,
то и
является действительным числом.
►Так как
,
то
также действительное число,
и
.
Из последнего следует, что
является в рассматриваемом случае
действительным числом.◄
Во всех остальных случаях не может быть действительным числом.
Докажем справедливость формулы (20).
Если
,
то
,
откуда имеем
,
,
,
и
Формулы (19) и (21) доказываются аналогично.
Пример 33.
Найти
Решение.
и
(рис.19).
Рис.
19
Пример 34.
Найти
Решение.
По формуле (19)
●
Пример 35.
Решить уравнение
.
Решение.
Ответ:
,
5. Гиперболические функции комплексного переменного.
Гиперболические
функции
,
,
,
определяются равенствами
,
,
,
(22)
Гиперболические функции могут быть выражены через тригонометрические. Справедливы следующие формулы:
. (23)
►Действительно,
.◄
Остальные формулы доказываются аналогично.
Из периодичности
тригонометрических функций и предыдущих
формул следует периодичность и
гиперболических функций, причём, периоды
функций
и
равны
,
а периоды функций
и
равны
.
Пользуясь определениями тригонометрических и гиперболических функций, нетрудно показать справедливость следующих равенств, которые могут иногда существенно облегчить вычисление.
,
,
,
,
,
.
Пример
36.
Вычислить
.
Решение. Первый
способ.
.
.
Второй способ.
.
Пример 37.
Доказать, что
.
Решение.
Учитывая формулы (23), имеем
.
Пример 38.
Вычислить
.
Решение.
Воспользуемся результатами примера
37.
●
6. Обратные гиперболические функции.
Обратные гиперболические функции , , , определяются как обратные к функциям , , , . Обратные гиперболические функции многозначны.
Из
следует
или
,
откуда
.
Решая
это уравнение, имеем
,
или
. (24)
Аналогично можно доказать, что
, (25)
, (26)
. (27)
Задачи для самостоятельной работы
1. Решить уравнения:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
2. Вычислить
,
если
.
3. При каких
и
справедливо равенство
,
если
,
?
4. Найти действительные
и мнимые части следующих выражений: а)
;
б)
.
5. Найти множество точек, удовлетворяющих уравнению
.
6. Изобразить
множество точек, удовлетворяющих
уравнению
.
7. Найти множество
точек, удовлетворяющих двойному
неравенству
.
8. Изобразить на
комплексной плоскости множество точек,
удовлетворяющих неравенству
.
9. Изобразить на комплексной плоскости точки, удовлетворяющие неравенствам:
а)
;
б)
;
в)
.
10. Записать с помощью неравенств и изобразить на комплексной плоскости следующие открытые множества точек комплексной плоскости:
а) полоса, состоящая из точек, отстоящих от действительной оси на расстояние, меньшее двух единиц;
б) внешность круга
с центром в точке
и радиусом 2;
в) внутренность прямого угла, лежащего в правой полуплоскости, с вершиной в точке , симметричного относительно действительной оси.
11. Найти множество
точек, равноудаленных
от точки
и прямой
.
12. Изобразить на
комплексной плоскости линию, заданную
уравнением
,
.
13. Доказать тождество
.
Используя доказанное тождество,
изобразить на комплексной плоскости
линию, заданную уравнением
(
).
14. Изобразить на
комплексной плоскости все значения
выражения
.
15. Найти
,
если
.
16. Решить уравнение
.
Корни уравнения представить в показательной форме.
17. Решить уравнение
.
Корни уравнения представить в алгебраической форме.
18. Доказать
справедливость равенства
.
19. Вычислить значение функции
а)
в точке
;
б)
в точке
;
в)
в точке
;
г)
в точке
;
д)
в точке
;
е)
в точке
;
ж) в точке ;
з)
в точке
.
20. Найти:
а)
;
б)
;
в)
.
21. Доказать справедливость равенств:
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) .
22. Найти:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
23. Найти образ
точки
при отображении
.
24. Найти образ в
комплексной плоскости
прямой
,
заданной в комплексной плоскости
при отображении
.
25. Найти образы
координатных осей
и
при отображении
.
Ответы
1. а)
или
;
б)
,
где
;
в)
;
г)
,
.
2.
.
3.
,
.
4. а)
,
:
б)
;
.
5. Точки окружности
.
6. Множество точек
параболы
.
7. Внутренние точки
кольца с центром в точке
,
внутренним радиусом
,
внешним радиусом
.
Рис. 20 Рис. 21
8. Точки, лежащие внутри области, ограниченной окружностью радиуса 1 с центром в точке (1,0) (рис. 20).
9 а) рис.21; б) рис. 22; в) рис.23.
Рис.22 Рис.23
1
0.
а)
(рис.24);
б)
(рис.25);
в)
(рис.26).
Рис.24
Рис.25 Рис.26
11. Множество точек
параболы
.
12. Гипербола
.
13. Правая ветвь гиперболы .
14. Рис. 27.
,
,
,
,
,
.
15.
64. 16.
,
.
7.
,
.
19.
а)
,
б)
;
в)
;
Рис. 27 г)
д)
;е)
;
ж)
;
з)
.
20. а)
;
б)
;
в)
.
22. а)
;
б)
;
в)
;
г);
;
д)
.
23.
.
24.
.
25.
ОГЛАВЛЕНИЕ.
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА........................................................3
1. Понятие комплексного числа. Алгебраическая
форма комплексного числа.............................................................3
2. Тригонометрическая и показательная формы
комплексного числа.......................................................................15
Произведение комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах...................................................................18
Частное комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах...................................................................22
Извлечение корня целой положительной степени из комплексного числа.......................................................................23
ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО...........................................................................25
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО...........................................................................28
1. Показательная функция комплексного переменного.............29
2. Логарифмическая функция комплексного переменного.......29
3. Тригонометрические функции комплексного переменного...................................................................................31
4. Обратные тригонометрические функции комплексного переменного...................................................................................34
5. Гиперболические функции комплексного переменного.......37
6. Обратные гиперболические функции......................................39
Задачи для самостоятельной работы...........................................40
Ответы.............................................................................................42
Учебное издание