4Робота № 5 . Зразок виконання роботи Задача 5.1

Визначити ймовірність безвідмовної роботи системи з десяти елементів (n=10), що з’єднані згідно із заданою схемою надійності. Для кожного елемента відома ймовірність безвідмовної роботи p_i протягом заданого часу наробки t.

№ вар.	р1	р2	р3	р4	р5	р6	р7	р8	р9	р10
19	0,85	0,85	0,95	0,75	0,85	0,85	0,85	0,60	0,95	0,80

Розв’язування:

Надійність всієї системи знаходимо шляхом поступового спрощення початкової схеми, тобто замінюючи групи послідовно або паралельно з’єднаних елементів одним елементом. Надійність еквівалентного елемента розраховується в залежності від того, паралельне чи послідовне з’єднання розглядається на відповідному етапі спрощення.

При паралельному з’єднанні елементів:

.

Оскільки , то .

При послідовному з’єднанні елементів

.

p_1,5 = 1 - (1 - p₁)(1 - p₅) =

= 1 - (1 - 0,85)(1 - 0,85) = 0,9775

p_2,6 = 1 - (1 - p₂)(1 - p₆) =

= 1 - (1 - 0,85)(1 - 0,85) = 0,9775

p_3,7 = 1 - (1 - p₃)(1 - p₇) =

= 1 - (1 - 0,95)(1 - 0,85) = 0,9925

p_4,8 = 1 - (1 - p₄)(1 - p₈) =

= 1 - (1 - 0,75)(1 - 0,90) = 0,9

Етап 2

Етап 3

Визначення ймовірності безвідмовної роботи системи

p_I = p_2,6 ∙ p_3,7 ∙ p_4,8 =

= 0,9775 ∙ 0,9925 ∙ 0,9 = 0,8732;

p_II = p₉ ∙ p₁₀ = 0,95 ∙ 0,8 = 0,76;

p_III = 1 - (1 - p_I)(1 - p_II) =

= 1 - (1 - 0,8732)(1 - 0,76) = 0,97

p_C = p_1,5∙p_III = 0,9775 ∙ 0,97 = 0,9477

Етап 4

Етап 5

p_C

Відповідь: p_C(t)=0,948.

Задача 5.2

Для заданої електричної схеми з’єднань однакових діодів знайти ймовірність безвідмовної роботи системи p_c(t) та середню наробку на відмову Т_в. Вважається, що закон розподілу ймовірностей безвідмов­ної роботи діода експоненціальний, відмови різного виду в одному діоді несумісні, післядія відмов відсутня. Дано: час неперервної роботи системи t=1000 год.; інтенсивність відмов діода при експоненційному закону λ=0,25∙10^-6 1/год.; інтенсивність відмов діода в результаті обриву при експоненційному закону λ₀=0,05∙10^-6 1/год.

Розв’язування:

Безвідмовність кожного діода при експоненційному законі: .

Ймовірність відмови .

Ймовірність відмови по обриву , ймовірність відмови по пробою .

Отже,

;

.

В

Робота № 5

изначимо працюючі стани системи та їх ймовірності в залежності від кількості відмов діодів системи та видів цих відмов. Результати подамо у вигляді таблиці.

К-сть відмов	К-сть пробоїв	К-сть обривів	Безвідмовність p(t)
0	0	0	p0,0 = p4
1	1	0	p1,0 = 4p3qφn = 4p3(1-p)φn = 4(p3-p4)φn
1	0	1	p0,1 = 4p3qφ0 = 4p3(1-p)φ0 = 4(p3-p4)φ0
2	2	0	p2,0=4p2q2φn2 = 4p2(1-p)2φn2 =4(p2-2p3+p4)φn2
2	0	2	p0,2=4p2q2φ02 = 4p2(1-p)2φ02 =4(p2-2p3+p4)φ02
2	1	1	p1,1 = 12p2q2φnφ0 = 12p2(1-p)2φnφ0 = = 12(p2-2p3+p4)φnφ0
3	2	1	p2,1 = 8pq3φn2φ0 = 8p(1-p)3φn2φ0 = = 8(p-3p2+3p3-p4)φn2φ0
3	1	2	p1,2 = 4pq3φnφ02 = 4p(1-p)3φnφ02 = = 4(p-3p2+3p3-p4)φnφ02

Ймовірність безвідмовної роботи системи

p_C(t)=4φ_nφ₀ (2φ_n + φ₀)p(t) + 2(2φ_n² + φ₀² + 6φ_nφ₀ - 12φ_n²φ₀ - 6φ_nφ₀²)p²(t) +

+4(1 - 2φ_n² - φ₀² - 6φ_nφ₀ + 6φ_nφ₀ + 6φ_n²φ₀ + 3φ_nφ₀²) p³(t) +

+(-3 + 4φ_n² + 2φ₀² + 12φ_nφ₀ - 8φ_n²φ₀ - 4φ_nφ₀²) p⁴(t) =

= 4∙0,2∙0,8(2∙0,8 + 0,2)∙p(t) +

+ 2(2∙0,8² + 0,2² + 6∙0,8∙0,2 - 12∙0,8²∙0,2 - 6∙0,8∙0,2²)∙p²(t) +

+ 4(1-2∙0,8²-0,2²-6∙0,8∙0,2+6∙0,8²∙0,2+3-6∙0,8²∙0,20,8-6∙0,8²∙0,20,2²)∙p³(t)+

+ (-3 + 4∙0,8² + 2∙0,2² + 12∙0,8∙0,2 - 8∙0,8²∙0,2 - 4∙0,8∙0,2²)∙p⁴(t) =

= .

З урахуванням того, що закон безвідмовностей експоненційний

.

=0,18

Знайдемо середню наробку на відмову Т_В

=

Визначення ймовірності безвідмовної роботи системи

=4,856∙10^-6год.

Відповідь: безвідмовність системи на час t=1000 год. дорівнює

p_C(t) = p_C(1000) = 0,186;

середня наробка системи на відмову Т_В=4,256∙10⁶ год.