§2. Касательная к кривой на плоскости и в пространстве. Угол между кривыми. Нормаль к кривой на плоскости и нормальная плоскость

к кривой в пространстве.

Пусть - гладкая кривая в пространстве . Пусть и М – две произвольные точки кривой.

Определение 2.1. Касательной к кривой в точке называется предел секущей, проходящей через точки и М при стремлении

Более строго, прямая d , проходящая через точку кривой , является касательной к кривой в точке , если

.

Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат Оxyz.

Напишем уравнения касательных к кривым при различных способах задания кривых.

1. Пусть r (t) - одна из - гладких параметризаций кривой : Пусть точкам и М соответствуют параметры и t соответственно.

Рассмотрим радиус-векторы , точек и М.

Вектор называется радиус-вектором кривой.

Тогда точки и М имеют координаты и .

Теорема 2.1. -гладкая кривая имеет в каждой точке единственную касательную, направляющий вектор которой есть

, (2.1)

где r (t) - одна из - гладких параметризаций кривой , r .

Следствие 2.1. В условиях теоремы 2.1 касательная к кривой в точке может быть задана параметрическими уравнениями

, где параметр .

Замечание 2.1. Для кривой на плоскости уравнение для координаты z писать не нужно.

2. Пусть кривая плоская и является графиком функции . Пусть точка кривой имеет координаты .

Зададим кривую параметрически: r . Радиус-вектор кривой имеет координаты , направляющий вектор касательной имеет координаты в произвольной точке и - в точке .

Тогда касательная к кривой в точке может быть задана параметрическими уравнениями

, где параметр .

Выразим параметр u из первого уравнения и подставим во второе уравнение. Получим для уравнения касательной известную формулу .

3. Пусть кривая плоская и задана неявно как решение уравнения . Пусть точка кривой имеет координаты , .

Из курса математического анализа известно, что вектор перпендикулярен кривой в любой ее точке. Следовательно, в качестве направляющего вектора касательной в точке можно взять вектор .

Тогда касательная к кривой в точке может быть задана параметрическими уравнениями

, где параметр .

Напомним также, что при выполнении условий теоремы о неявной функции . Далее можно применить последнюю формулу п.2.

4. Пусть кривая в пространстве задана неявно как решение системы уравнений

Напишем уравнение касательной к кривой в точке с координатами , где числа являются решением данной системы уравнений.

Векторы и перпендикулярны соответствующим поверхностям. Найдем их координаты в точке :

В качестве касательного вектора к кривой в точке возьмем векторное произведение . Вычислим его координаты .

Уравнение касательной в параметрической форме:

, где параметр .

Определение 2.2. Углом между двумя кривыми в точке их пересечения называется угол между касательными к данным кривым в этой точке.

Определение 2.3. Нормалью к кривой на плоскости в точке называется прямая, проходящая через точку и перпендикулярная к касательной в точке .

Определение 2.4. Нормальной плоскостью к кривой в пространстве в точке называется плоскость, проходящая через точку и перпендикулярная к касательной в точке .

Напишем уравнения нормалей (для плоских кривых) и нормальных плоскостей (для кривых в пространстве) при различных способах задания кривых.

1. Пусть r (t) - одна из - гладких параметризаций плоской кривой : Пусть точке соответствует параметр .

Напишем уравнение нормали как уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору :

Рисунок 10.

Пусть r (t) - одна из - гладких параметризаций кривой в пространстве: Пусть точке соответствует параметр .

Напишем уравнение нормальной плоскости как уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору :

2. Пусть кривая плоская и является графиком функции . Пусть точка кривой имеет координаты .

Зададим кривую параметрически: r . В качестве направляющего вектора нормали возьмем вектор В точке его координаты равны

Тогда нормаль к кривой в точке может быть задана параметрическими уравнениями

, где параметр .

Выразив параметр u из второго уравнения и подставив в первое уравнение, получим для уравнения нормали при уравнение .

3. Пусть кривая плоская и задана неявно как решение уравнения . Пусть точка кривой имеет координаты , .

В качестве направляющего вектора нормали в точке возьмем вектор .

Тогда нормаль к кривой в точке может быть задана параметрическими уравнениями

, где параметр .

Рисунок 11.

4. Пусть кривая в пространстве задана неявно как решение системы уравнений

Напишем уравнение нормальной плоскости к кривой в точке как уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору = , где