1.3.5. Свойства функций, непрерывных в точке
Теорема 1.
Если
функции
и
непрерывны в точке
,
то функции
(с
– константа),
+
,
,
а если
,
то и
также непрерывны в точке
.
Доказательство:
Следует
из свойств пределов и определения
непрерывности. Например:
.
Теорема 2 (непрерывность сложной функции).
Пусть
функция
непрерывна в точке
,
а функция
непрерывна в точке
.
Тогда сложная функция
также непрерывна в точке
,
т.е.
.
(*)
Доказательство.
Т.к. функция непрерывна в точке , то
.
Т.к функция
непрерывна в точке
,
то
,
но т.к. при любом стремлении
и
,
то
,
т.е.
,
т.е. при
.
Сложная функция
непрерывна.
Формулу
(*) можно записать в виде
,
которая может быть использована при
вычислении пределов.
Можно
также записать:
,
где
.
Это правило замены переменных, которое очень часто используется при вычислении пределов.
В качестве примеров докажем непрерывность некоторых элементарных функций.
1.
– непрерывна в любой точке
.
Функция
2.
– непрерывна в любой точке
.
;
Функция
Справедлива теорема (без доказательства).
Любая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
Подчеркну, что речь идет не только об основных элементарных функциях, а вообще об элементарных функциях, т.е. таких, которые получены из основных элементарных путем конечного числа арифметических операций и взятия функции от функции.
Теорема об ограниченности непрерывной функции.
Если функция непрерывна в точке , то существует окрестность этой точки, на которой функция ограничена.
Доказательство.
Из
определения непрерывности следует, что
определена в некоторой окрестности
точки
и, следовательно, можно взять любую
последовательность
,
и при этом
.
Сходящаяся же последовательность
ограничена, поэтому и
ограничена.
1.3.6. Два замечательных предела
Для вывода формул первого и второго замечательных пределов сначала докажем вспомогательную теорему (лемму).
Лемма.
Пусть
в некоторой
-окрестности
точки
(за исключением, быть может, самой точки
)
заданы функции
,
причем
и
.
Тогда
.
Доказательство.
Пусть
– произвольная последовательность,
при
,
элементы которой лежат в указанной
окрестности
точки
и не равны
,
а
– соответствующие последовательности
значений функции. По условию
и
.
Но тогда в силу теоремы, доказанной для
последовательности,
.
Поскольку
– произвольная, сходящаяся к
последовательность значений аргумента,
это и означает, что
.
Лемма доказана.
1. Первый замечательный предел
.
Функция
не определена. Найдем ее предел при
.
Для этого рассмотрим на окружности
радиуса 1
два радиуса OA
и OM,
острый угол между которыми равен x
(в радианах).
Из
точки M
проведем
,
а продолжив OM,
из точки С
проведем
Из рисунка ясно, что
Sсектора
OMA<
.
(1)
Поскольку OM=OA=1, то
Sсектора=
OMA
=
Тогда неравенство (1) имеет вид:
.
Т.к.
xострый
угол и
,
разделив это неравенство на sinx>0,
получим
или
.
(2)
Это
неравенство получено в предположении,
что x>0.
Если же x<0,
то cos(–x)
= cosx
и
,
поэтому оно справедливо и при x<0.
Из неравенства (2) следует, что переменная
заключена между двумя переменными,
имеющими при
один и тот же предел:
;
.
Поэтому согласно указанной лемме
.
2. Второй замечательный предел
Мы
уже знаем, что
.
При этом n
принимает целые положительные значения.
Оказывается, если
,
принимая любые, в том числе и дробные
значения, предел также оказывается
равным e.
В самом деле, любое положительное значение x заключено между двумя положительными и целыми числами:
.
При этом выполняются неравенства:
;
;
.
Если
,
то и
.
Найдем пределы, к которым стремятся
переменные, между которыми заключена
переменная
.
Пределы
оказались одинаковыми. Поэтому в
соответствии с леммой
.
Мы доказали, что если x всегда положителен и , то .
Можно
доказать, что этот предел равен e
при произвольном стремлении x
к
или
Этот
же предел можно записать в другой форме,
обозначив
и рассматривая
.
.
Теперь рассмотрим примеры вычисления пределов.
Пример 1.
Найти
.
Т.к. функция
непрерывна в любой точке, то
Пример 2.
Найти
Пример 3.
Найти
Т.к. функция
непрерывна в каждой точке (
элементарная
функция), то
Пример 4.
Используем
замену переменной
Тогда
=
Пример 5.
.
Пример 6.
Пример 7.
