15. Затухающие колебания

Затухающие колебания – это собственные колебания маятников, амплитуда которых со временем уменьшается. Реально собственные колебания всегда затухающие из-за действия силы сопротивления среды.

1. Уравнение затухающих колебаний

Получим уравнение затухающих колебаний. На маятник действует, во-первых, упругая возвращающая сила. В первом приближении силы упругости пропорциональны смещению х от положения равновесия где – коэффициент упругости. Во-вторых, сила сопротивления среды. Примем, что сила сопротивления пропорциональна скорости . Так бывает при движении тела в вязкой среде с небольшой скоростью.

Уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось Ох будет иметь вид: произведение массы тела на ускорение равно сумме проекций сил упругости и сопротивления:

. (15.1)

Приведём это уравнение к канонической форме, поделив его на массу

. (15.2)

Здесь обозначено: – коэффициент затухания, – циклическая частота свободных (незатухающих) колебаний. Решением этого дифференциального уравнения является функция, превращающая уравнение в тождество

, (15.3)

где – циклическая частота затухающих колебаний, – амплитуда колебаний в начальный момент времени, – начальная фаза колебаний. При малом затухании (b < w₀) частота затухающих колебаний практически не отличается от частоты свободных колебаний. Если b > w₀ , то колебания невозможны: тело, выведенное из положения равновесия, медленно смещается к положению равновесия. Такое движение называется апериодическим колебанием.

А мплитудой затухающих колебаний является выражение перед синусом в уравнении (15.3)

А =А ₀ е ^{-b t} . (15.4)

Как видно, со временем амплитуда уменьшается по экспоненциальному закону (рис. 15.1, пунктир).

2. Параметры затухания колебаний

Затухание колебаний характеризуют несколькими параметрами. Во-первых, коэффициент затухания, который характеризует уменьшение амплитуды со временем, согласно формуле (15.4). Пусть за некоторое время τ, называемое временем релаксации, амплитуда уменьшилась в e = 2,72 раза, тогда , откуда . Коэффициент затухания характеризует уменьшение амплитуды колебаний со временем и равен величине, обратной времени релаксации.

Во-вторых, параметром затухания является логарифмический декремент. По определению он равен логарифму отношения амплитуд двух соседних колебаний:

, (15.5)

где – амплитуда в момент времени t, – амплитуда через один период .

Установим связь между логарифмическим декрементом и коэффициентом затухания , то есть . Используя это соотношение уравнение для амплитуды (15.4) можно записать как функцию числа совершенных колебаний N. Подставив время и коэффициент затухания , получим . Отсюда видно, что логарифмический декремент характеризует уменьшение амплитуды в зависимости от числа колебаний и равен величине, обратной числу колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в е = 2,72 раза.

Логарифмический декремент характеризует потери энергии. Полная энергия колебаний равна , или . Потери энергии за малое число колебаний определим, дифференцируя функцию энергии . Примем число совершенных колебаний равное половине колебания и получим . То есть, логарифмический декремент равен относительным потерям энергии за половину периода.