- •Рабочая программа учебной дисциплины
- •Объем дисциплины, виды учебной работы и формы контроля в соответствии с учебным планом специальностей по формам обучения
- •Тема 7. Численное решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Тема 8. Обзор методов решения уравнений в частных производных
- •Раздел 2. Численные методы решения дифференциальных уравнений
- •7. Чем обусловлено появление погрешности округления при численном реше нии поставленной задачи?
- •Тестовые задания
- •Раздел 1. Методы решения задач алгебры и математического анализа
- •1. Чем вызвана неустранимая погрешность?
- •3. Пусть а - точное, а - приближенное значение некоторого числа. Дайте опре деление относительной погрешности.
- •8. Дайте определение сплайн-функции.
- •9. Сформулируйте постановку задачи интерполирования функции.
- •15. Назовите достоинства и недостатки интерполяционных формул Лагранжа.
- •16. В чем состоит сущность метода наименьших квадратов?
- •17. Когда удобно пользоваться интерполяционной схемой Эйткена?
- •19. Назовите области применения интерполирования функций.
- •С какой точностью можно вычислить по интерполяционной формуле Ла гранжа 1п 100,5 по известным значениям 1п 100, 1п 101, 1п 102 и 1п 103. А)4,5-10"5; б)6,7-10"7; в)2,3-10"9.
- •23. Опишите методику вычисления определенного интеграла по формулам прямоугольников.
- •25. Определить величину шага к по оценке остаточного члена для вычисления
- •26. Назовите области применения формул численного интегрирования.
- •29. Выбор шага интегрирования для обеспечения заданной точности вычисле ния интеграла с помощью метода двойного пересчета.
- •30. Проведите сравнение формул численного интегрирования по точности на основании остаточных членов формул.
- •32. Отличие метода Гаусса с выбором главного (ведущего) элемента от метода Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений.
- •33. В чем преимущество метода Зейделя для решения системы линейных ал гебраических уравнений перед методом простой итерации?
- •34. Для решения систем линейных алгебраических уравнений какого вида раз работан метод прогонки?
- •35. Опишите метод Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений.
- •36. Почему метод простой итерации решения систем линейных алгебраических уравнений называется самоисправляющимся?
- •37. Каковы недостатки решения системы уравнений по правилу Крамера?
- •38. Опишите метод Якоби (простой итерации) решения системы линейных ал гебраических уравнений.
- •39. Опишите метод деления отрезка пополам.
- •41. В чем достоинство и недостаток метода Ньютона нахождения корней нели нейного уравнения?
- •43. Решение нелинейного уравнения методом простой итерации.
- •44. Проведите сравнение методов деления отрезка пополам (доп) и Ньютона по различным критериям (универсальность, скорость сходимости).
- •45. Назовите основные этапы процесса нахождения корня нелинейного уравнения.
- •Раздел 2. Численные методы решения дифференциальных уравнений 1. В чем достоинство неявных методов решения дифференциальных уравнений?
- •3. Оценить погрешность аппроксимации правой разностной производной
- •4. Численное решение методом Эйлера задачи Коши для обыкновенных диф ференциальных уравнений.
- •5. Почему метод Рунге-Кутта называется самостартующим?
- •6. Опишите построение разностной схемы для численного решения обыкно венного дифференциального уравнения.
- •7. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов.
- •8. Оценить погрешность аппроксимации центральной разностной производной
- •9. Какой метод численного решения дифференциального уравнения называет ся многошаговым?
- •10. Опишите сущность разностной аппроксимации задачи Коши для обыкно венного дифференциального уравнения первого порядка.
- •11. Оценить погрешность аппроксимации левой разностной производной
- •14. Какая конечно-разностная схема, аппроксимирующая дифференциальное уравнение в частных производных, называтся согласованной?
- •15. Какая задача для уравнений в частных производных называется корректно поставленной?
- •16. Физический смысл условия Куранта-Фридлихса-Леви.
- •17. Какая конечно-разностная схема называется слабо неустойчивой (устойчивой)?
- •18. Какие физические процессы описывают уравнения в частных производных эллиптического типа?
- •19. Укажите методы построения конечно-разностных схем, аппроксимирующих дифференциальное уравнение в частных производных.
- •20. Дайте определение маршевой задачи для уравнений в частных производных.
8. Дайте определение сплайн-функции.
а) Полином Рп (х) = М /(х, )П (х - хк) (х - х, )Ц (х,. - хк) I, принимающий в точках хг зна-
г=0 V к=0 I кФг )
чения /(хг), называется сплайн-функцией, соответствующей данной функции Дх) и узламхг (7 = 0, \,...,п).
б) Сплайн-функцией т-то порядка, соответствующей данной функции Дх) и узлам хг■ (г: = 0, 1,..., п), называется функция фс), которая: 1) является полиномом т-то по рядка на каждом частичном отрезке [хг-_1,хг-] (/ = \,2,...,п); 2) непрерывна вместе со своими производными до (ти-1)-го порядка в узлам хг {г' = 1,2,..., п-\); 3) х(хг) =Дхг) 0 = 0, 1,...,й).
в) Сплайн-функцией,
соответствующей данной функции Дх)
и
узлам хг
{г' = 0,1,...,
п),
на
зывается
полином вида Р
(х)
= у
+
ч
ду
+
я(ч-У)А2
+
+
ч(ч
-1)-(?
-и + 1)
А»
5
где
2! п\
д = (х-хо)/к,И- шаг разностной сетки, Д*уг- - конечные разности ^-го порядка.
9. Сформулируйте постановку задачи интерполирования функции.
19
а) Требуется вычислить производные от функций, заданных в табличном виде.
б) Требуется найти значение функции Г(х), х^хг (г = О, \,...,п), если известны узлы интерполирования хг (г = О, 1,... ,п) и значения функции Г(х) в этих узлах.
в) Требуется определить допустимую погрешность аргументов по допустимой по грешности функции.
10. Что принимают за меру качества аппроксимации функции Дх) полиномом Рт{х) в методе наименьших квадратов?
а) За меру качества аппроксимации функции Дх) полиномом Рт(х) в узлах хг прини мают максимум модуля разностиДхг) иРт{х1) (г=\,2,...,п).
б) За меру качества аппроксимации функции Дх) полиномом Рт{х) в узлах хг принима ют сумму у ю (х.) [/(х.) _ рт(Хг) ]2, где ю(х) > 0 - заранее выбранная «весовая» функция.
в) За меру качества аппроксимации функции Дх) полиномом Рт(х) в узлах хг прини-
п
мают сумму V | /(хг-) - Рт (хг-) |.
г=1
11. В чем заключается задача обратного интерполирования?
а) Пусть функция у = Цх) задана таблицей. Требуется по заданному значению функ ции у найти соответствующее значение аргумента х.
б) Пусть функция у = Цх) задана таблицей. Требуется найти функцию ф(х), расчеты по которой либо совпадают, либо в определенном смысле приближаются к данным значениям функции {(х).
в) Пусть функция у = Цх) задана таблицей. Требуется построить полином вида
Г п I \
/(хг)]~[(х~хА:)/(х~хг)]~[(хг:~ХА:)1 принимающий в точках хг, называемых
^ А:=0 / Ыг )
узлами, значения интерполируемой функции Цхг-).
12. По прогнозу 1983 г. добыча нефти в Западной Европе должна была соста вить в 1980 г. — 2,6 млн. баррелей/сут., в 1985 г. — 3,9 млн. баррелей/сут. и в 1990 г. - 3,2 млн. баррелей/сут. Используя интерполяционный полином Ла- гранжа, рассчитать данный показатель на 1988 г.
а) 3,720 млн. баррелей/сут. б) 3,894 млн. баррелей/сут.
в) 3,643 млн. 3,894 млн. баррелей/сут.
13. Как определяется остаточный член интерполирования полиномами Ньютона?
а) |ЯЙ| < — -М2 , где М2 = тах |/"(^)|, ^ - некоторая точка заданного промежутка
24 ^[Ь]
24 ^[,]
[а, Ь], И = соп81 - расстояние между соседними узлами интерполяции хг(/ = 0, 1,...,и).
б) Кп(х) = - ^^(х-хо)(х-х1)---(х-хй), где Ъ, есть некоторая точка наименьшего
(й + 1)!
промежутка, содержащего все узлы интерполяции хг {г' = 0, 1,..., п) и точку х, в которой находится значение сеточной функции Дх).
в) Кп = тах|х-хг|, (/ = 0, и), где хг - узлы интерполяции, х - точка, в которой находится значение сеточной функции Дх). 14. Какую функцию называют аппроксимирующей? а) Пусть для конечного множества значений аргумента х0, хь ..., хп известны таб-
20
личные значения функций/[хо),/[х\), . ..,Дх„). Аппроксимирующей (приближающей) называют функцию ф(х), расчеты по которой либо совпадают, либо в определенном смысле приближаются к данным значениям функций.
б) Пусть для конечного множества значений аргумента Хо, Х\, ..., хп известны таб личные значения функций/[хо),/[х\), . ..,Дх„). Аппроксимирующей (приближающей) называют функцию ф(х), производные от которой равны производным функцииДх).
в) Пусть для конечного множества значений аргумента х0, Х\, ..., хп известны таб личные значения функцийДхо),Дх!), . ..,Дхй). Аппроксимирующей (приближающей) называют функцию ф(х), значения которой отличаются от данных значений функ ций на постоянную величину.