Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Примеры решений

Продолжаем рассматривать теорию и практику степенных рядов. Материал несложный, но для его понимания необходимо уже более или менее хорошо ориентировать в теме. Если Вы только-только приступили к изучению рядов или чувствуйте себя чайником, пожалуйста, начните с урока Ряды для чайников. Примеры решений. Далее следует прочитать статьюСтепенные ряды. Область сходимости ряда, в частности, Вы должны хорошо понимать, что такое степенной ряд и его область сходимости. А для целей сегодняшнего урока потребуется методический материал Таблица разложений некоторых функций в степенные ряды, его можно раздобыть в кладовке Математические формулы и таблицы. По возможности, таблицу лучше распечатать, поскольку она потребуется не только сейчас, но и в оффлайне.

Понятие суммы степенного ряда

Начнем подходить к теме с воспоминаний. Как мы помним, любой числовой ряд может или сходиться, или расходиться. Если числовой ряд   сходится, то это значит, что сумма его членов равна некоторому конечному числу: 

На уроке Степенные ряды. Область сходимости ряда мы рассматривали уже не числовые, а функциональные и степенные ряды. Возьмём тот самый подопытный степенной ряд, который всем понравился:  . В ходе исследования было установлено, что этот ряд сходится при  . Если числовые ряды сходятся к ЧИСЛАМ, то к чему же сходятся функциональные и степенные ряды? Правильно подумали. Функциональные ряды сходятся к ФУНКЦИЯМ. В частности, суммой ряда   в его области сходимости   является некоторая функция  :

  

Еще раз подчеркиваю, что данный факт справедлив только для найденной области  , вне этого промежутка степенной ряд   будет расходиться.

Чтобы всё стало окончательно понятно, рассмотрим примеры с картинками. Я выпишу простейшее табличное разложение синуса в степенной ряд:

Область сходимости ряда: 

(По какому принципу получены сами элементарные табличные разложения, мы рассмотрим чуть позже).

Теперь вспоминаем школьный график синуса  :

Вот такая симпатичная синусоида. Хмм…. Где-то я уже это видел….

Теперь фишка. Если начертить график бесконечного многочлена  , то получится… та же самая синусоида! То есть, наш степенной ряд   сходится к функции  . Используя признак Даламбера (см. статью Степенные ряды. Область сходимости ряда), легко проверить, что ряд   сходится при любом «икс»:   (собственно, поэтому в таблице разложений и появилась такая запись об области сходимости).

А что значит вообще «сходится»?  По смыслу глагола – что-то куда-то идёт. Если я возьму первые три члена ряда   и начерчу график многочлена пятой степени, то он лишь отдаленно будет напоминать синусоиду. А вот если составить многочлен из первых ста членов ряда:   и начертить его график, то он будет с синусоидой практически совпадать. Чем больше членов ряда – тем лучше приближение. И, как уже отмечалось, график бесконечного многочлена – есть в точности синусоида. Иными словами, ряд   сходится к функции   при любом значении «икс».

Рассмотрим более печальный пример, табличное разложение арктангенса: Область сходимости ряда: 

Печаль заключается в том факте, что график бесконечного многочлена    совпадает с графиком арктангенса   только на отрезке   (т.е. в области сходимости ряда):

Вне отрезка   разложение арктангенса в ряд   расходится, а график бесконечного многочлена пускается во все тяжкие и уходит на бесконечность.

Разложение функций в степенной ряд. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена

Приступим к увлекательному занятию – разложению различных функций в степенные ряды. Сначала пара формул, затем практические задания.

Если функция   в некотором интервале раскладывается в степенной ряд по степеням  , то это разложение единственно и задается формулой: Примечания: Надстрочный индекс   в последнем слагаемом обозначает производную «энного» порядка. Вместо буквы «а» в литературе часто можно встретить букву  .

Данная формула получила имя некоего англичанина Тейлора (ударение на первый слог).

На практике процентах в 95-ти приходится иметь дело с частным случаем формулы Тейлора, когда  :

Это разложение в ряд обычно называют именем шотландца Маклорена (ударение на второй слог). Разложение Маклорена также называют разложением Тейлора  по степеням  .

Вернемся к таблице разложений элементарных функций и выведем разложение экспоненциальной функции: Как оно получилось? По формуле Маклорена: Рассмотрим функцию  , тогда:

Теперь начинаем находить производные в точке ноль: первую производную, вторую производную, третью производную и т.д.  Это просто, поскольку при дифференцировании экспонента превращается в саму себя:

И так далее….

Совершенно очевидно, что 

Подставляем единицы в формулу Маклорена и получаем наше табличное разложение!

Аналогично можно вывести некоторые другие табличные разложения (но далеко не все выводятся именно так).

Примеры разложения функций в ряд Маклорена

В данном параграфе мы рассмотрим типовую задачу на разложение функции в ряд Маклорена и определении области сходимости полученного ряда. Нет, мучаться с нахождением производных не придется, мы будем пользоваться таблицей.

Пример 1

Разложить функцию в ряд Маклорена. Найти область сходимости полученного ряда.

! Эквивалентная формулировка: Разложить функцию в ряд по степеням   

Решение незамысловато, главное, быть внимательным и не пропустить какую-нибудь степень, индекс.

Конструируем наш ряд. Плясать начинают, как правило, от функции, в данном случае – от косинуса. Используем элементарное разложение:

.  Область сходимости ряда: 

В данном случае 

В числителях раскрываем скобки:

Теперь умножаем обе части на «икс»:

В итоге искомое разложение функции в ряд:

Как определить область сходимости? Разложение косинуса сходится при ЛЮБОМ значении «альфа»:  , а значит и при  . Домножение   на «икс» не играет никакой роли в плане сходимости. Поэтому область сходимости полученного ряда: 

Пример 2

Разложить функцию в ряд по степеням  . Найти область сходимости ряда.

Это пример для самостоятельного решения.

Я не стал рассматривать простейшие разложения вроде  ,   или  , поскольку это фактически задача в одно действие. В нужные табличные разложения вместо «альфы» необходимо подставить  ,  ,   и немного причесать полученные ряды. Единственное предостережение – не теряйте по невнимательности степени и знаки.

А сейчас для разнообразия рассмотрим что-нибудь с минусами.

Пример 3

Разложить функцию в ряд по степеням  . Найти область сходимости ряда.

В таблице находим похожее разложение: Область сходимости ряда:  , концы интервала нужно исследовать дополнительно.

Трюк прост: перепишем функцию немного по-другому:

Таким образом,   и: Окончательно:

Теперь нужно определить область сходимости. Смотрим на табличное неравенство  . У нас тут минус и «икс» в квадрате:  , не факт, что область сходимости полученного ряда будет именно такая. В сомнительных случаях надежнее всего подробно проанализировать полученный степенной ряд. В данном случае функция разложилась в ряд  . Используя штатный признак Даламбера (урок Степенные ряды. Область сходимости ряда), легко найти интервал сходимости ряда:  . Будет ли сходиться ряд на концах интервала? Если подставить значения  ,  , то в обоих случаях получится расходящийся гармонический ряд   (знак «минус» перед рядом никак не влияет на сходимость или расходимость).

Таким образом, область сходимости полученного ряда: 

Интересно отметить, что простейшее разложение из учебника   сходится ещё в одной точке, и область сходимости соответствующего ряда:  . А разложение в ряд такого логарифма:   – сходится на обоих концах интервала: 

Таким образом, когда вам дан для разложения любой логарифм, следует быть предельно аккуратным и внимательным.

Пара примеров для самостоятельного решения:

Пример 4

Разложить функцию в ряд по степеням  . Найти область сходимости ряда.

Пляска традиционно начинается от функции, то есть, начинать нужно с экспоненты.

Пример 5

Разложить функцию в ряд по степеням  . Найти область сходимости ряда.

Здесь разложение не такое трудное, но могут возникнуть трудности с нахождением области сходимости полученного ряда.

Полные решения и ответы в конце урока.

Не редкость, когда перед разложением функции в ряд её необходимо предварительно преобразовать. Канонический случай – это разложение функции  . Перед тем как ее раскладывать в ряд, необходимо понизить степень с помощью известной тригонометрической формулы:  . Решать я этот пример не буду, поскольку он довольно простой, к тому же что-то подобное мы недавно рассмотрели.

Пример 6

Разложить функцию в ряд по степеням  . Найти область сходимости ряда.

Смотрим в таблицу и находим наиболее похожее разложение:

Во-первых, вверху нужно получить единицу, поэтому представляем функцию в виде произведения:  Теперь нам нужно в знаменателе устроить  , для этого выносим двойку за скобки: И сокращаем на два: В данном случае  , таким образом:

В итоге искомое разложение:

Определим область сходимости ряда. Можно пойти длинным и надежным путем, используя признак Даламбера для полученного степенного ряда  , т.е. найти интервал сходимости ряда и исследовать сходимость ряда на концах найденного интервала.

А можно поступить проще. Из таблицы известно, что биномиальный ряд стопудово сходится при  . В данном случае  , поэтому: Умножаем все части неравенства на  :  – интервал сходимости полученного ряда. Что происходит с рядом   на концах интервала?  При  При  Оба числовых ряда расходятся, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Таким образом, область сходимости полученного ряда: 

Пример 7

Разложить функцию в ряд по степеням  . Найти область сходимости ряда. Указание: предварительно функцию следует упростить, используя свойства логарифмов: 

Это пример для самостоятельного решения.

Разложение функций в ряд Маклорена необходимо проводить в ряде других задач, например, в задаче приближенного вычисления определенного интеграла. Кстати, там, помимо нового материала, можно посмотреть примеры других разложений, которые не поместились в этот урок.

Примеры разложения функций в ряд Тейлора по степеням 

Данное задание является более сложным и встречается значительно реже. Я сначала вообще не хотел включать задачу в урок, но всё-таки решил, что 2-3 примера не помешают. Пригодится.

Вытащим из чулана общую формулу Тейлора, о которой уже упоминалось:

Еще раз повторю, что вместо буквы «а» на практике часто можно встретить букву  .

В чём сложность разложения функции по степеням  ? Сложность состоит в том, что нам не удастся воспользоваться табличными разложениями, и придётся самостоятельно находить производные.

Сразу небольшой Пример 8

Разложить функцию   в ряд Тейлора по степеням 

В данном случае  , смотрим на формулу Тейлора, и становится уже всё понятнее. Теперь предстоит ручная работа по конструированию разложения:

, все производные, начиная с четвёртой производной, будут нулевыми.

Теперь подставляем весь найденный скарб в формулу Тейлора:

Готово. Для проверки можно раскрыть скобки: Получен исходный многочлен, что и требовалось проверить.

Рассмотрим более содержательные примеры.

Пример 9

Разложить функцию   в ряд Тейлора по степеням  . Найти область сходимости полученного ряда.

Решение: Используем  разложение функции в ряд Тейлора по степеням 

Хех, опять предстоит ручная работа….

В данном случае: 

Замечаем, что с такими раскладами производные можно находить до бесконечности. Поэтому необходимо уловить некоторую закономерность. Найдем ещё третью производную:

А теперь проанализируем найденные производные:  ,  ,  . Закономерность прослеживается: знаки чередуются, в числителе накручивается факториал, а в знаменателе  растёт степень.

Теперь, исходя из выявленной закономерности, нужно составить производную «энного» порядка. В данном случае она выглядит так: Как проверить, правильно ли составлена энная производная? Подставьте в неё значения  ,  ,   и вас должны получиться в точности первая, вторая и третья производные. После того, как мы убедились в том, что энная производная составлена правильно, подставляем в неё наше значение: 

Теперь осталось все труды подставить в формулу Тейлора и аккуратно провести упрощения:

Далее необходимо найти область сходимости полученного степенного ряда  . Это стандартная задача, которую мы многократно прорешивали на уроке Степенные ряды. Область сходимости ряда. Я сразу приведу ответ, поскольку умею решать почти все ряды устно =)

Область сходимости полученного степенного ряда: 

И заключительный пример для самостоятельного решения:

Пример 10

Разложить функцию   в ряд Тейлора по степеням  . Найти область сходимости полученного ряда.

Если честно, то от рядов уже в глазах мельтешит, не злоупотребляйте!  Пожалуйста, сообщите, если где заметили опечатку или ошибку.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Используем разложение:   . Данный ряд сходится при любом значении  .  В данном случае  Область сходимости ряда:  .

Пример 4: Используем разложение:   .  Область сходимости ряда:  . В данном случае  Конструируем функцию дальше: Окончательно: Поскольку разложение экспоненты сходится при любом «альфа», то область сходимости полученного ряда: 

Пример 5: Используем частный случай биномиального разложения: В данном случае  Таким образом:

Само по себе разложение не слишком сложное, важно правильно найти область полученного сходимости ряда. Есть длинный путь и короткий.

Путь короткий: из таблицы находим комментарий к биномиальному разложению: «Область сходимости ряда:  . Сходимость ряда в точках  ,   исследуется отдельно». В данном случае  , то есть, ряд точно сходится при:  . Делим все части на 3 и извлекаем из всех частей кубический корень:  – интервал сходимости ряда. Подставляем концы интервала в полученный ряд  . Если  , то: При  Оба числовых ряда расходятся, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда. Окончательно. Область сходимости полученного ряда: 

Путь длинный (но более надежный и универсальный) состоит в исследовании полученного ряда   с помощью признака Даламбера по стандартной схеме, рассмотренной на уроке Степенные ряды. Область сходимости ряда.

Пример 7: Преобразуем функцию:  Используем разложение: В данном случае  Таким образом: Или короче, в свёрнутом виде:  Найдем область сходимости полученного степенного ряда. По таблице находим, что использованное разложение сходится при  . В данном случае  , поэтому:  – интервал сходимости исследуемого степенного ряда. Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала: При   – расходится При   – сходится условно. Таким образом, область сходимости полученного степенного ряда: 

Пример 10: Решение: Используем  разложение функции в ряд Тейлора по степеням  : В данном случае:  … … Таким образом: Область сходимости полученного степенного ряда уже надоела. Ответ:   ряд сходится при  .