2.3. Определение приведённой длины физического маятника и ускорения свободного падения Лабораторная работа № 1.13

Принадлежности: маятник с опорной призмой, секундо- мер, масштабная линейка.

Цель работы: исследование зависимости периода колебаний физического маятника от положения точки подвеса и определение по этой зависимости ускорения свободного падения.

Описание прибора и методика измерения

Л юбое тело, подвешенное в точке, лежащей выше его центра тяжести, может колебаться и представляет собой физичеcкий маятник. Докажем, что маятник, отклоненный на малый угол  от положения равновесия, будет совершать гармонические колебания. Обозначим через I момент инерции маятника относительно оси О, перпендикулярной плоскости чертежа (рис.3.1). Пусть точка С является центром тяжести. Силу тяжести можно разложить на две составляющие, одна из которых уравновешивается реакцией опоры, а под действием другой составляющей

Рис.3.1.

маятник приходит в движение.

Из основного закона динамики вращательного движения имеем

I  = - m g a sin, (3.1)

где , (3.2)

угловое ускорение, а = ОC – расстояние от точки подвеса до центра тяжести

Знак минус выбран потому, что действующая сила направлена в сторону, противоположную положительному направлению отклонения маятника, т.е. стремится вернуть его в положение равновесия. При малых отклонениях маятника можно принять, что sin   , что позволит (3.1) представить в виде

. (3.3)

Полученное дифференциальное уравнение является уравнением гармонического колебательного движения, решение которого  = А cos(t+). Частота и период колебаний определяются из формул

(3.4)

Величина называется приведенной длиной

физического маятника, она численно равна длине математического маятника той массы m и периодом колебаний, равным периоду колебаний данного физического маятника.

Из формулы (3.4) для периода колебаний можно рассчитать момент инерции физического маятника относительно точки подвеса:

. (3.5)

Приведенная длина l_пр физического маятника в данной работе определяется графическим методом.

Определение приведенной длины физического маятника по кривой зависимости периода колебаний от положения точки подвеса

Применяемый в данной работе маятник представляет собой однородный металлический стержень длиной более 1м., диаметром около 2см. На стержне имеется шкала и передвижная, закрепляющаяся в любом месте стержня, опорная призма (рис.3.2).

Заменой I=I₀+m² формулу (3.4) перепишем в виде

. (3.6)

Величина I₀, имеющая смысл момента инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести, равна

, (3.7)

где m – масса тела; – так называемый радиус инерции маятника.

Из уравнений (3.6) и (3.7) получаем

. (3.8)

График зависимости Т(а) состоит из двух ветвей: левой и правой (рис.3.3). Наименьшее значение величины периода колебаний получается при а=а₀ (точки А и В). В этом можно убедиться, если определить минимальное значение функции

Равные периоды колебаний получаются при двух значениях а: при а₁ < a₀ на падающем участке правой ветви – точка М и при а₂ > а₀ на возрастающем участке ветви – точка N. Для этих точек

,

что приводит к равенству _{1 2} = . Пользуясь этим, для величины приведенной длины маятника получим

. (3.9)

Для определения приведен- ной длины нет необходимости перевертывать маятник, измерять периоды вновь и строить второй график. Из соображения симметрии ясно, что

L = ₁+₂ = FC+FM = FM + FN. (3.10)

В маятнике может быть найдено большое число пар точек, периоды колебаний которых равны между собой, но для каждой пары точек, соответствующих определенной приведенной длине, значения периода колебаний будут различны.

По графику (достаточно по одной кривой) можно, следовательно, определить приведенную длину маятника L.