6. Испытания по схеме бернулли

6.1. Формула Бернулли

Пусть одно за другим проводятся n независимых одинаковых испытаний (экспериментов), причем каждый раз проверяется, произошло или нет некоторое событие А. Говорят еще, что если событие А произошло, то произошел “успех”, а если произошло событие , то случилась “неудача”. Считается, что вероятность “успеха” не меняется от испытания к испытанию, обозначается она так: . Тогда и вероятность “неудачи” одна и та же во всех n испытаниях, она равна и обозначается буквой q.

Элементарный исход всей такой серии из n экспериментов можно описать последовательностью из букв У или Н, буква У соответствует “успеху”, буква Н  неудаче. Всего, следовательно, элементарных исходов. Когда n = 3, то возможных исходов 8: УУУ; УУН; УНУ; УНН; НУУ; НУН; ННУ; ННН, где, например, исход УНУ означает, что “успех” произошел в первом и третьем экспериментах и не произошел во втором.

Испытания называются независимыми, если вероятность каждого элементарного исхода равна произведению соответствующих вероятностей “успеха” и “неудачи”, чисел p и q.

Например, р(УУУ) = р³, р(УНУ) = р²q, р(УУН) = р²q, р(ННУ) = рq², р(ННН) = q³ и т.д.

Найдем вероятность события В = {в n независимых испытаниях “успех” произошел ровно k раз (0  k  n)}. Событию В благоприятствуют все элементарные исходы, которые содержат k букв У ((n – k) букв Н соответственно). Вероятность любого такого исхода равна произведению , всего исходов столько, сколько есть разных последовательностей из букв У и Н, содержащих k букв У и (n – k) букв Н, всего таких последовательностей Окончательно

. (6.1)

Эта формула называется формулой Бернулли, а вероятность р(В) обозначается р_n(k). Вероятности р_n(k) (0  k  n) называют еще биноминальными, потому что произведение представляет собой общий член разложения бинома Ньютона

. (6.2)

Так как p + q = 1, то сразу получим, что сумма всех биноминальных вероятностей равна 1: .

6.2. Наивероятнейшее число появлений “успеха” в n независимых испытаниях

Пусть вероятности p и q – фиксированы, а k изменяется от 0 до n, тогда вероятность p_n(k) – это функция k. Найдем такое число k₀, которое максимизирует функцию p_n(k). Это число естественно назвать наивероятнейшим числом появления события А (наивероятнейшим числом появления “успеха”). Сравним два числа  p_n(k) и p_n(k+1).

; .

. (6.3)

Это отношение больше 1, если (n  k)p > (k+1)q, тогда np  q > k(p+q) =k.

Итак, пока т.е. вероятности p_n(k) монотонно возрастают. Соответственно, когда k > np  q, то верно неравенство p_n(k+1) < p_n(k) и вероятности p_n(k) начинают монотонно убывать. Если число np – q – целое, то имеем два наивероятнейших числа: и

Если же число np – q – дробное, то наивероятнейшее число k₀ одно: k₀ – это наименьшее целое число, превосходящее np – q, другими словами, , где символ [а] означает целую часть числа а (рис.6.1).

Рис.6.1

Пояснения к рисунку.

Левая диаграмма Правая диаграмма

; ;

; ;

. .