III. Исследование функций с помощью производных

§ 21. Условие постоянства функции на интервале

Рассмотрим достаточное условие постоянства дифференцируемой функции на интервале.

Теорема 21.1. Если функция дифференцируема на интервале (a;b), и если всюду

на этом интервале , то функция является постоянной на этом интервале.

Доказательство. Зафиксируем некоторую точку x₀ из интервала (a;b) и возьмём любую другую точку x из этого интервала. Отрезок [x₀, x] целиком принадлежит

интервалу (a;b), поэтому функция дифференцируема, а, следовательно, и непрерывна всюду на отрезке [x₀, x]. Это значит, что для функции на отрезке [x₀, x] выполнены условия теоремы Лагранжа. Следовательно, внутри отрезка [x₀, x] найдётся такая точка c, что . Но так как по условию всюду на интервале (a;b) , то и , а, следовательно, . Это равенство означает, что значение функции в произвольной точке интервала (a;b) равно её значению в фиксированной точке x₀, то есть функция постоянна всюду на интервале (a;b).

Теорема доказана.

§ 22. Условия монотонности функции на интервале

Рассмотрим сначала достаточные условия строгой монотонности функции на интервале.

Теорема 22.1. Для того чтобы дифференцируемая на интервале (a;b) функция возрастала (убывала) на этом интервале достаточно, чтобы производная была положительной (отрицательной) всюду на этом интервале.

Доказательство. Рассмотрим случай, когда . Пусть x₁ и x₂ - любые две точки интервала (a;b), удовлетворяющие условию . На отрезке функция дифференцируема, а, следовательно, непрерывна. Поэтому к ней можно применить формулу Лагранжа:

,

где .

По условию . Поэтому или , т.е. функция возрастает на интервале (a;b). Случай, когда , рассматривается аналогично.

Теорема доказана.

Из последней теоремы следует, что отличие от нуля производной является достаточным условием строгой монотонности функции. Однако это условие не является необходимым. Так, например, функция возрастает на любом интервале действительной оси, но при x=0 производная этой функции обращается в нуль (рис. 6). Следующая теорема устанавливает необходимое и достаточное условие монотонности функции.

Теорема 22.2. Для того чтобы дифференцируемая на интервале (a;b) функция не убывала (не возрастала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы производная этой функции была неотрицательной (неположительной) всюду на этом интервале.

Доказательство. 1) Докажем достаточность. Пусть . Рассмотрим любые две точки x₁ и x₂ интервала (a;b), удовлетворяющие условию . Повторяя рассуждения из доказательства предыдущей теоремы, получим:

,

где .

Так как по условию , то , или , т.е. функция не убывает (не возрастает) на интервале (a;b).

2) Докажем необходимость. Пусть функция дифференцируема и не убывает (не возрастает) на интервале (a;b). Так как эта функция не убывает (не возрастает) на интервале (a;b), то она не может убывать (возрастать) ни в одной точке интервала (a;b). Поэтому, как следует из теоремы 16.1, производная ни в одной точке интервала (a;b) не может быть отрицательной (положительной).

Теорема доказана.