Определение параметров функциональной зависимости
методом наименьших квадратов
При совместном
исследовании двух случайных величин
по имеющейся выборке (х1,
у2),
(х2,
у2),…,(xk,
yk)
возникает задача определения зависимости
между ними. Если вид функции y
= f
(x,
a,
b,...)
задан, то требуется найти значения
коэффициентов a,
b,...,
при которых yi
наименее отличаются от f
(xi).
В методе наименьших квадратов коэффициенты
должны быть такими, что
принимает минимальное значение.
а) Линейная
зависимость y
= ax
+ b.
Если
,
то из условия
получаем:
б) Квадратичная
зависимость y
= (ax
+ b)2.
Отсюда
и система для определения a,
b
может быть получена по аналогии с
предыдущим случаем с помощью замены yi
на
:
в) Показательная
зависимость
Логарифмируя,
получаем: lny=ax
+ b,
и система уравнений для a,
b
имеет вид:
г) Зависимость
вида
Тогда y2
= ax
+ b,
и условия для а
и b
можно задать так:
д) Логарифмическая зависимость y = ln(ax + b), то есть ey = ax + b, и
Пример 5. Найти параметры зависимости между х и у для выборки
xi |
1,4 |
1,7 |
2,6 |
3,1 |
4,5 |
5,3 |
yi |
2,5 |
4,7 |
18,3 |
29,8 |
74,2 |
110,4 |
для случаев: 1) линейной зависимости y = ax + b;
2) квадратичной зависимости y = (ax + b)2;
3) показательной зависимости y = eax + b.
Определить, какая из функций является лучшим приближением зависимости между х и у.
Решение.
По виду выборки
достаточно очевидно, что связь между х
и у
скорее всего не является линейной – у
растет не пропорционально х.
Проверим это предположение, найдя
коэффициенты а
и b
для каждой из функций. Для этого вычислим
предварительно
=
3,1;
=
40,0;
Теперь можно решать
линейные системы для а
и b:
1)
то есть линейная зависи-мость имеет
вид: у
= 27,34х
– 44,74.
2)
квадратичная функция:
у = (2,29х – 1,68)2.
3)
показательная функция:
у = е0,94х + 0,04.
Вычислим значения
:
yi |
2,5 |
4,7 |
18,3 |
29,8 |
74,2 |
110,4 |
|
(yi)лин |
-6,46 |
1,74 |
26,34 |
40,0 |
78,29 |
100,13 |
379,93 |
(yi)кв |
2,33 |
4,9 |
18,27 |
29,37 |
74,4 |
109,35 |
1,397 |
(yi)показ |
3,85 |
5,09 |
11,67 |
18,8 |
69,5 |
146,66 |
1503,81 |
Итак, наилучшим приближением является квадратичная функция.