Резонансные явления в колебательных контурах с источниками гармонического сигнала

Вначале рассмотрим последовательный колебательный контур, находящийся при воздействии источника гармонической ЭДС (рис.2.16).

По второму закону Кирхгофа составим уравнение для единственного контура этой схемы:

, , , (2.55)

где . Следовательно,

. (2.56)

Из выражения (2.56) видно, что при условии модуль знаменателя наименьший и равен . При указанном условии, эквивалентном следующему условию для частоты гармонического источника:

, (2.57)

ток будет иметь максимальную амплитуду, равную:

. (2.58)

Явление, при котором ток в цепи резко возрастает по модулю при приближении частоты гармонического источника к значению частоты , называется резонансом в последовательном колебательном контуре.

Частота при этом называется резонансной.

Из выражений (2.55) и (2.56) видно, что резонанс в последовательном колебательном контуре происходит при условии , т.е. когда напряжения на емкости и индуктивности компенсируют друг друга. На рис.2.17 приведен график зависимости модуля тока

(2.59)

от частоты источника гармонической ЭДС. При построении графика учтены предельные соотношения: , , .

Резонансное явление в последовательном контуре удобно также пояснить с помощью векторной диаграммы напряжений (рис.2.18а). На этом рисунке представлены на комплексной плоскости векторы , , при произвольной частоте . Из диаграммы видно, что векторы , , в сумме дают вектор . Заметим, что вектор всегда параллелен вектору тока , вектор отстает по фазе на от , а вектор опережает на . Все это следует из полюсных уравнений для резистора, емкости и индуктивности: , , .

При резонансной частоте напряжения и компенсируют друг друга, и вектор напряжения на резисторе совпадает с вектором . При этом вектор тока достигает максимального значения. Естественно, что для построения диаграмм на рис.2.18 необходимо задаться масштабами для напряжений и для тока.

При описании резонанса пользуются понятиями добротности последовательного колебательного контура

, (2.60)

его затуханием

(2.61)

и шириной полосы пропускания резонансного контура по уровню 0,707:

, (2.62)

где и - верхняя и нижняя частоты полосы пропускания; их смысл ясен из рис.2.17. Если выразить через добротность, получим:

, (2.63)

т.е. чем больше добротность контура, тем меньше полоса его пропускания.

Предположим, имеется два последовательных колебательных контура, отличающихся только значениями активных сопротивлений: для первого - , для второго - . Из формул (2.58) и (2.63) следует, что максимальный ток для второго контура будет больше, чем для первого: , а полоса пропускания для второго – меньше, чем для первого: (см. рис.2.19).

Теперь рассмотрим параллельный колебательный контур, находящийся под воздействием гармонического источника тока (рис.2.20).

Составим уравнение по первому закону Кирхгофа для верхнего узла схемы:

. (2.64)

И обобщенного закона Ома, записанного для трех элементов, следует:

, , , (2.65)

где - общее напряжение, приложенное к трем ветвям, , , - проводимости трех элементов.

Подставляя (2.65) в (2.64), получим:

, (2.66)

где - суммарная проводимость трех параллельно соединенных элементов.

Из анализа выражения (2.66) следует, что при условии

(2.67)

модуль комплексной проводимости становится минимальным:

, (2.68)

а модуль напряжения - максимальным:

. (2.69)

Частота, соответствующая равенству (2.67) –

, (2.70)

называется резонансной частотой параллельного колебательного контура.

Из (2.57) и (2.70) следует, что выражения для резонансных частот параллельного и последовательного колебательных контуров совпадают.

Явление, при котором напряжение в параллельном контуре резко возрастает по модулю при приближении частоты гармонического источника к значению частоты , называется резонансом в параллельном колебательном контуре.

Э то явление можно описать также с помощью векторной диаграммы напряжений и токов (рис.2.21). На рис.2.21а показана возможная диаграмма токов при произвольной частоте , а на рис.2.21б – диаграмма токов при . Из рис.2.21б следует, что при резонансе токи и компенсируют друг друга: .

График зависимости модуля напряжения от частоты аналогичен графику на рис.2.17.

Понятия добротности, затухания и полосы пропускания определяются так же, как и для последовательного колебательного контура.

В качестве одного из многочисленных примеров применения резонансных контуров в цепях при гармоническом воздействии укажем идеальный избирательный усилитель, схема которого приведена на рис.2.22а. Амплитудно - частотная характеристика этого усилителя приведена на рис.2.22б (сплошная линия).

Реальный избирательный усилитель вследствие потерь энергии будет иметь АЧХ, показанную на рис.2.22б пунктирной линией.