Определение моментов инерции звена методом физического маятника

1. Цель работы

Определение моментов инерции звена сложной конфигурации, например шатуна кривошипно-ползунного механизма, методом физического маятника.

2. Основные положения

При конструировании и исследовании механизмов необходимо знать координаты центров масс звеньев, их массы и моменты инерции. Определение этих параметров для звеньев сложных очертаний оказывается крайне трудоемкой работой в случае применения аналитических методов. Поэтому этот метод чаще применяется лишь при конструировании, а при исследовании уже построенных механизмов предпочитают пользоваться более простыми и не менее точными экспериментальными методами. Если масса является мерой инертности тела в поступательном движении и имеет размерность кг в системе СИ, то момент инерции является мерой инертности тела во вращательном движении и имеет размерность кг·м².

Малые колебания звена с одной степенью свободы (рис. 1) опишем линейным дифференциальным уравнением

которое имеет решение.

при условии; что t = 0, φ = φ₀ и

Здесь и обозначает круговую частоту;

Ι_о – момент инерции звена относительно оси подвеса, кг·м²,

φ – угол отклонения звена от положения равновесия,

К – коэффициент жесткости, представляет собой момент, действующий на звено при отклонении его от положения равновесия на угол в один радиан, Нм.

Если звено 1 отклонить от положения равновесия на угол φ_o, и затем предоставить самому себе, то оно будет совершать гармонические колебания по закону косинуса с амплитудой φ_о и периодом

Если значения Т и К известны, то момент инерции звена определится по формуле

, кг м².

Период Т колебаний звена можно определить при помощи секундомера, а коэффициент жесткости К – теоретически следующим образом.

Пусть звено 1 (рис.1) отклонено от положения равновесия на угол . Тогда момент силы тяжести Q относительно оси подвеса О будет равен:

,

где а – расстояние от точки подвеса до центра масс звена.

В случае малых колебаний (угол  не более 5°) можно принять Sin   и считать

.

Отсюда коэффициент жесткости равен

.

Момент инерции звена относительно оси, проходящей через его центр тяжести, можно найти по формуле Штейнера

,

где m – масса звена, кг.

Рис.1 Схема установки Рис.2 Схема установки для определения

центра масс

Способы определения центра масс звена

1. Один из наиболее простых способов для определения центра масс небольших звеньев, имеющих ось симметрии ХХ, изображен на рис.2. Звено 1 укладывается на ребро трехгранной призмы 2 таким образом, чтобы оно находилось в равновесии. На звене отмечают точку, лежащую против ребра призмы. Измеряется расстояние a от центра масс до точки подвеса О.

2. Определение центра масс звена можно произвести также методом двойного покачивания. При этом определяется время (период) полного колебания звена (Т₁ и Т₂) при подвешивании его за один (О₁) и за другой конец (О₂). Моменты инерции звена относительно оси, проходящей через центр масс S, можно вычислить по формулам:

, кг м²,

, кг м²,

то из этих уравнений можно вывести формулу для вычисления a:

, м.