Системы нулевого порядка

Дифференциальное уравнение, описывающее систему нулевого порядка, является лишь простым алгебраическим уравнением. Система является ста­тической или, говоря другими словами, частотно-независимой. Примером системы нулевого порядка служит потенциометрический преобразователь смещения, изображенный на рис. 2.38(a). В этом датчике смещение х преоб­разуется в пропорциональное ему выходное напряжение V. Предположим, что сопротивление между нижним концом потенциометра и движком равно R₀ при х = 0, а максимальное сопротивление при х = х_mах равно R_max; тогда связь между выходным напряжением V и смещением х можно представить в виде

.

Это частный случай уравнения вида:

у = ах + b.

Здесь b либо имеет нулевое значение, либо играет роль начального сме­щения, а a — чувствительность. Время установления t_s равно нулю, а шири­на полосы f₀ равна бесконечности. В действительности, конечно, на очень высоких частотах чувствительность уменьшается, и у этого много причин (упругость, масса, паразитная емкость и т. д.); поэтому часто говорят, что такие системы являются системами квази-нулевого порядка. Это означает, что реакция таких систем является мгновенной в том диапазоне частот, который существенен при измерении данной величины. Систему, изобра­женную на рис. 2.38(b), также можно считать системой нулевого порядка. Выходное напряжение датчика Холла V_H пропорционально току I проте­кающему по пластине Холла и индукции В магнитного поля, образуемого центральным проводником. Кроме того, будет иметь место начальное сме­щение V_o. В разделе 3.2.3 будет показано, что

V_H = .

Рис. 2.38. Системы нулевого порядка: (а) потенциометрический преобразова­тель смещения и (b) датчик тока.

Здесь R_H — постоянная Холла для данной пластины, а t — ее толщина. Поскольку значение В пропорционально току, текущему по центральному проводнику, такой датчик исключительно удобен для измерения больших токов. Он позволяет осуществить такое измерение, не разрывая проводник для подключения пробника, который внес бы дополнительное сопротивле­ние.

У линейных систем первого порядка соотношение между входным сигналом x(t) и выходным сигналом y(t) выражается линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Простой пример такой системы — ртутный термометр. Изменение длины столбика ртути, определяемое по откалиброванной шкале, служит выходным сигналом, а входным сигналом является измеряемая температура окружающей среды T . Мы будем предполагать, что изменение длины столбика ртути прямо пропорционально изменению тем­пературы ртути в резервуаре термометра. Поэтому для описания динамичес­кого поведения термометра вполне можно принять температуру Т ртути в резервуаре за выходную величину (см. рис. 2.39(a)). Теплообмен между ртутью в резервуаре и окружающим воздухом должен происходить через стеклян­ную стенку с тепловым сопротивлением R. Тепловую емкость (теплоемкость) ртути в резервуаре обозначим С. Для малого приращения тепла Q получим:

q = c t .

Кроме того,

Q = I t = t ,

поэтому

rc +t = t .

Другой пример системы первого порядка — это RС-цепь, приведенная на рис. 2.39(b). Пусть и - входное и выходное напряжения. С учетом того, что

+IR=

и

,

Рис.2.39. Два примера систем первого порядка: (а) ртутный термометр и (b) RС-цепь.

находим:

rc +V = V .

Полагая в обоих случаях RC = , мы можем представить эти линейные дифференциальные уравнения первого порядка в следующем общем виде:

+ у = х.

где х = x(t), а у = y(t). Таким образом, мы можем придти к выводу, что ртутный термометр и RC-цепь эквивалентны с точки зрения их динамичес­кого поведения.

Это дифференциальное уравнение решается просто. При скачкообразном входном сигнале

x(t) =

при t 0

и

x(t)=0

при t <0,

а выходной сигнал y(t), или переходную характеристику, находим из

+ у = х.

В операторной форме уравнение имеет вид:

р + 1 = 0 ,

откуда

р = - .

Общее решение таково: у = Сe .

Частным решением при t является функция y(t) = у (конечное или установившееся значение):

у = Сe + у .

Полагая, что y(t) = 0 при / = 0, найдем:

y(t) = у (1- e ).

Таким образом, переходная характеристика измерительной системы пер­вого порядка имеет вид

y = у (1- e ),

где у - конечное или установившееся значение, а = RC - постоянная времени. Эта переходная характеристика изображена на рис. 2.40.

Если относительная погрешность измерительной системы не может пре­восходить = у / у , то время установления t_s равно

Это легко получить из выражения для переходной характеристики с по­мощью графика на рис. 2.40. Когда требуется очень малая относительная ошибка у / у в конечном отсчете на выходе такой системы первого поряд­ка, ее время установления t_s становится чрезмерно большим. В примере с термометром на рис. 2.39(a) столбик ртути все медленнее ползет вверх к конечной отметке, которая достигается только при наступлении теплового равновесия между системой и ее окружением. Это является нежелательным свойством отклика первого порядка, когда речь идет о точных измерениях; время установления будет слишком большим.

Частотная характеристика — это, по существу, отклик системы на си­нусоидальный входной сигнал x(t) = в установившемся режиме, то есть отклик, спустя длительное время после включения сигнала и подачи его на вход, когда все переходные явления затухнут. Частотную характерис­тику находят как частное решение дифференциального уравнения, описы­вающего систему первого порядка, при t .

Частотную характеристику легко получить, применяя комплексные пе­ременные в электрическом аналоге системы первого порядка, приведенном на рис. 2.39(b). Это дает:

(при = RC).

Рис. 2.40. Переходная характеристика системы первого порядка.

Модуль равен

| |= ,

а аргумент имеет вид:

Arg = -arctg .

Амплитудно-частотная характеристика | | и фазо-частотная характе­ристика Arg системы первого порядка представлены на рис. 2.41.

Ширина полосы f₀ системы первого порядка определяется из равенства =1, так что f_Q = 1 / 2 . На этой частоте сдвиг по фазе уже достигает значения - / 4 или -45°. На более высоких частотах сдвиг по фазе стремит­ся к -90°', тогда как амплитуда выходного сигнала уменьшается почти до нуля.

Рис.