Контрольні запитання

1. Запишіть диференційні співвідношення для струму і напруги у LC-елементах.

2. Вкажіть дві форми подання систем ЗДР.

3. Дайте класифікацію методів чисельного рішення ЗДР.

4. Запишіть явну і неявну формули Ейлера, дайте пояснення.

5. Запишіть формулу трапецій, дайте пояснення.

6. Вкажіть різницю явних методів і неявних.

7. Яке обмеження на крок має явний метод Ейлера?

8. Як оцінити похибку обчислень за правилом Рунге?

5 Оптимізація електронних схем Теоретичні відомості

Під оптимізацією електронної схеми розуміється цілеспрямований|ціленаправлений| пошук оптимальних значень параметрів елементів схеми, при яких її характеристики найкращим чином задовольняють поставленим в технічному|технічний| завданні|задавання| вимогам. При цьому структура схеми задається розробником, а вибір значень параметрів елементів проводиться|виробляється,справляється| за допомогою ЕОМ за програмами, що реалізують методи рішення задач нелінійного|нелінійний| програмування.

У загальному|спільний| випадку завдання|задача| нелінійного|нелінійний| програмування формулюється таким чином:

знайти мінімум|мінімум-ареал| функції F(x) при обмеженнях:

типу|тип| рівності , і = 1,2,...,k;

(5.1)

типу|тип| нерівностей >= 0, і =1,2,…,m

Функція F(x) називається цільовою|цільовий| функцією. Якщо цільова|цільовий| функція і обмеження є|з'являтися,являтися| лінійними функціями, то має місце завдання|задача| лінійного програмування, при квадратичній цільовій|цільовий| функції і лінійних обмеженнях – завдання|задача| квадратичного програмування, і, нарешті|урешті|, у разі|в разі| відсутності|відсутність| обмежень – завдання|задача| безумовної мінімізації.

Для постановки і рішення оптимізаційної задачі необхідно скласти цільову|цільовий| функцію, за допомогою якої оцінюється ступінь|міра| відповідності характеристики схеми, що оптимізується, технічному|технічний| завданню|задавання|. На практиці широке|широкий| застосування|вживання| отримали|одержали| цільові|цільовий| функції, складені по середньостепеневому|середньоквадратичний| критерію оптимальності:

(5.2)

де m –| число крапок|точка,точка-тире|, на яке розбивається інтервал зміни змінній w (частоти, часу і т.п.), в якому проводиться|виробляється,справляється| оптимізація характеристики;

- ваговий коефіцієнт для крапки|точка,точка-тире| ;

- необхідне значення характеристики у і–й крапці;

- реалізоване значення характеристики у і–й крапці.

P- ступінь|міра| наближення.

При рівноцінності всіх точок характеристики можна покласти

,

Зі|із| збільшенням внесок|вклад| і-й крапки|точка,точка-тире| в цільову|цільовий| функцію збільшується, що веде до точнішого виконання вимог для значень характеристики в цій крапці|точка,точка-тире|.

Мінімальне значення ступеня|міра| наближень p дорівнює 2. Зі збільшенням ступеня|міра| p відбувається|походити| вирівнювання помилок|помилка| і характеристика, що оптимізується, наближається формою до рівноволнової.

У окрузі|околиця| шуканої точки мінімуму|мінімум-ареал| довільну цільову|цільовий| функцію від n змінних можна апроксимувати квадратичною функцією, використавши розкладання в багатовимірний|багатомірний| ряд|лава,низка| Тейлора при збереженні|зберігання| тільки|лише| перших|перший| трьох членів:

(5.3)

де ;

- градієнт цільової|цільовий| функції;

матриця Гессе (матриця других приватних похідних);

t - знак транспонування.

Якщо є|з'являтися,являтися| мінімумом|мінімум-ареал|, то при будь-якому малому прирості ΔХ функция повинна зростати, що матиме місце при

.

Остання умова означає позитивну визначеність матриці|матриця| Гессе.

Квадратичну функцію (7.3) можна записати таким чином:

, (5.4)

де а - постійна; - транспонований вектор n змінних;

Н - квадратна позитивно визначена матриця.

Ефективність методів оптимізації визначається швидкістю знаходження мінімуму|мінімум-ареал| квадратичних функцій (5.4). Якщо мінімум (5.4) знаходиться|перебувати| за n кроків, то використовуваний метод мінімізації має квадратичну збіжністю.

Найповніше розроблені математичні методи рішення задачі безумовної мінімізації. Більшість з|із| них засновані на побудові|шикування| ітераційного процесу пошуку мінімуму|мінімум-ареал|, що здійснює перетворення завдання|задача| знаходження мінімуму|мінімум-ареал| функції багатьох змінних в послідовність завдань|задача| по знаходженню мінімуму|мінімум-ареал| функції однієї змінної. Проводиться|виробляється,справляється| це перетворення по формулі:

, (5.5)

яка описує переміщення з|із| кроком α із початкової точки в точку|точка,точка-тире| у напрямі|направлення| на мінімум|мінімум-ареал|, вектором, що задається . Таким чином, на к-й| ітерації ставиться завдання|задача| знаходження оптимального значення кроку, що мінімізує цільову|цільовий| функцію в напрямі|направлення| . Це завдання|задача| вирішується|розв'язуватися| методами одновимірного|одномірний| пошуку мінімуму|мінімум-ареал|.

У простому випадку одновимірний|одномірний| пошук можна здійснити шляхом послідовного збільшення кроку на величину h. При кожному збільшенні слід проводити|виробляти,справляти| порівняння поточного , і попереднього, , значень цільової|цільовий| функції. Якщо < (вдалий|успішний| крок), то до знов|знову,щойно| додається|добавляється| h.. Інакше поточна невдала крапка|точка,точка-тире| відкидається, h зменшується, наприклад, удвічі,|вдвічі| і повторюється пошук мінімуму|мінімум-ареал| з|із| зменшеним h |із|їз попередньої вдалої|успішний| крапки|точка,точка-тире| . Точність знаходження мінімуму|мінімум-ареал| визначається величиною h.

Ефективність ітераційного алгоритму безумовної мінімізації визначається способом побудови|шикування| напрямів|направлення| пошуку . За способом побудови|шикування| вектора розрізняють методи нульового порядку|лад| (безградієнтні|), методи першого|перший| порядку|лад| (градієнтні) і методи другого порядку|лад| (ньютонівські).

При побудові|шикування| в методі нульового порядку|лад| приватні похідні від не використовуються, в методах першого|перший| порядку|лад| застосовується градієнт цільової|цільовий| функції , а в методах другого порядку|лад| – матриця Гессе .

До методів другого порядку|лад| відноситься метод Ньютона, формулу якого можна отримати|одержати|, якщо розкладання (5.3) цільової|цільовий| функції в ряд|лава,низка| провести|виробити,справити| в крапці , а функцію визначити в крапці|точка,точка-тире| . Потім знайти градієнт цільової|цільовий| функції в крапці|точка,точка-тире| і прирівняти його нулю|нуль-індикатор,нуль-множина,нуль-последовність,нуль-елемент|, припускаючи|передбачаючи|, що ця крапка|точка,точка-тире| співпадає|збігатися| з|із| мінімумом|мінімум-ареал| цільової|цільовий| функції:

.

Звідси витікає формула даного методу:

, (5.6)

де - матриця, зворотна матриці|матриця| Гессе.

У разі|в разі| квадратичної функції формула (5.6) при будь-якій початковій точці відразу ж визначає координати мінімуму|мінімум-ареал| . При мінімізації довільної функції ітерації будуються по формулі (5.5) з|із| напрямами:|направлення|

. (5.7)

Для функції двох змінних формулу (5.7) можна перетворити до вигляду|вид|:

, (5.8)

де - визначник матриці|матриця| Гессе.