4. Сумма событий

ОПЫТ А и В несовместны А и В совместны О.1	Если в результате испытания два события не могут появиться одновременно  они называются НЕСОВМЕСТ-НЫМИ. Если появление одного события не исключает появления другого  события СОВМЕСТНЫ
А+В или А, или В, если А и В несовместны А+В или А, или В, или АВ, если А и В - совместны О.2	СУММОЙ двух событий А и В называют событие А+В, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Теоремы сложения

Т.1. А и В несовместны  Р(А+В) = Р(А)+Р(В)

Т.2. А и В совместны  Р(А+В) = Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Противоположные события

О.1. Несовместные события А и В, образующие полную группу, называются противоположными.

ОПЫТ: подбросили монету.

СОБЫТИЕ А СОБЫТИЕ В выпал герб выпала цифра

А и В противоположны

ОБОЗНАЧЕНИЯ: В= А и - противоположные события если Р(А)=р, то

Т.3. Р(А₁+А₂+А₃+...+А_к)=1, если события несовместны и образуют полную группу.

Т.4. (следствие Т.3.) если p+q=1  p=1-q

Как решать задачи?

Задача 1. Два сигнализатора об аварии установлены независимо друг от друга. Вероятность того, что в нужный момент сработает первый, равна 0.9, а второй - 0.8. Найти вероятность того, что при аварии ни один из них не сработает.

Решение: Основное событие А - оба сигнализатора не сработают при аварии. Элементарные события:

В - не сработает первый сигнализатор

С - не сработает второй сигнализатор

В и С происходят одновременно  А=В*С

В и С независимы  Р(А)=Р(В)*Р(C)

Задача 2. В урне находятся 5 шаров черного цвета, 3 желтого и семь зеленого. Из урны наудачу вынимают 3 шара без возвращения. Найдите вероятность того, что первым будет вынут желтый шар, затем черный и зеленый.

Решение: Основное событие А - первым будет вынут желтый шар, вторым черный, третьим зеленый. Событие сложное. Элементарные события:

В - вынут желтый шар

С - вынут черный шар

D - вынут зеленый шар

В, С, D происходят одновременно  А=В*С*D

В, С и D зависимы  Р(А)=Р(В)*Р_B(C)*Р_вс(D)

.

Задача 3. В урне находятся пять шаров белого цвета, семь шаров синего цвета и восемь желтого. Наудачу берут 3 шара. Найти вероятность того, что все они одинакового цвета.

Решение: Основное событие А - все три шара одинакового цвета. Элементарные события:

В - все шары белые

С - все шары синие

D - все шары желтые

Происходит одно из событий В, С или D  В+С+D=А т.к. В,С и D несовместны  Р(А)=Р(В)+Р(C)+Р(D)

Вероятности В, С, D найдем, пользуясь классическим определением и элементами комбинаторики,

, , ,

Р(А)=101/1140.

Второй способ решения:

Вероятности Р(В), Р(С), Р(D) можно найти по теореме умножения зависимых событий:

взять последовательно три белых шара

,

взять последовательно три синих шара

,

взять последовательно три желтых шара

,

.

Задача 4. На книжной полке стоят 15 книг, из которых 5 в переплете. С полки наудачу берут три книги. Какова вероятность того, что хотя бы одна из этих книг окажется в переплете?

Решение: Основное событие:

А - хотя бы одна из книг в переплете. Противоположное ему событие - все книги без переплета.

.

По классическому определению вероятности имеем .

Или по теореме о произведении зависимых событий

.

Тогда искомая вероятность

.