2 Матеріали, інструмент, обладнання

Міліметрівка розміром не менш 210×297 мм. Математична таблиця логарифмічних функцій. Вимірювальна лінійка. Обчислювальна машина.

3. Порядок виконання роботи

1. Для вказаної першої контрольної точки перевірити данні на наявність помилки.

2. Усереднивши значення у, побудувати графік залежності у = f(х).

3. Порівняти побудований графік з графіками, що є в указівках, попередньо установши функціональну залежність.

4. Застосовуючи метод найменших квадратів, вирішити функціональну залежність у числовому вигляді та побудувати графік з нанесенням поля точок.

5. Для вказаних двох конкретних точок одержати довірчий інтервал.

6. Для однієї з конкретних точок одержати відносну похибку.

7. Зробити звіт.

4 Зміст роботи

1. Якщо серія вимірювань вказаної конкретної точки має грубу помилку ν, то наявність тієї помилки може дуже сильно викривляти середнє значення величини, яку вимірюють, і межі довірчого інтервалу. Тому при подальшій обробці помилку виключають. Для виключення промахів використовують формули:

або

де

S – середня квадратична похибка вимірювання;

Y_max – найбільше значення у (найбільший припустимий промах) у серії n вимірювань (для даного випадку n=5);

Y_mіn – найменше значення у (найменший припустимий промах) цієї же серії вимірювань;

– середнє значення у в серії вимірювань;

n – кількість вимірювань в серії.

Таблиця 4.1 – Експериментальне значення незалежної Х і залежної Y змінних

Варіанти	Кількість дослідних точок (виміру)														Номер контрольної точки і значення коефіцієнта надійності
	1		2		3		4		5		6		7
	х	у	х	у	х	у	х	у	х	у	х	у	х	у
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
1	0	0	10	16.5 15.0 13.8 11.8 10.0	20	23.5 21.6 20.5 19.4 17.2	30	29.0 26.8 24.9 22.4 19.8	40	30.0 28.0 24.8 22.4 20.9	50	33.5 30.8 28.2 25.0 21.2	60	32.6 30.8 29.0 26.8 24.6	T2, T3, α=0.90
2	0	0	5	16.8 14.8 14.0 11.6 9.8	10	24.0 21.2 20.1 19.6 18.1	15	29.5 28 25.2 22.3 19.4	20	30.6 27.9 25.0 22.6 21.0	25	32.0 31.0 27.9 25.2 21.6	30	33.4 32.1 29.2 25.9 24.0	T3, T4, α=0.95

Продовження табл. 4.1

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14		15	16
3	0	0	10	19.6 17.8 15.8 14.6 11.8	20	29.2 27.0 24.9 22.1 20.5	30	31.5 29.8 26.8 25.0 23.8	40	34.3 32.0 29.2 26.8 25.8	50	38.4 36.5 34.8 31.5 29.5	60		38.8 36.7 35.0 32.5 30.7	T4, T5, α=0.99
4	0	0	5	20.1 18.2 16.7 15.2 12.9	10	30.2 28.0 25.9 23.1 21.5	15	32.5 30.8 27.8 26.0 24.8	20	36.4 33.1 30.3 27.9 26.9	25	39.6 37.7 36.0 32.7 30.7	30		40.1 38.9 36.3 33.8 31.9	T5, T6, α=0.90
5	0	0	10	21.6 19.8 17.8 16.6 13.8	20	31.2 29.0 26.9 24.1 22.5	30	33.5 31.8 28.8 27.0 25.8	40	36.3 34.0 31.2 28.8 27.8	50	40.4 38.5 36.8 33.5 31.2	60		40.8 38.0 37.2 34.6 32.7	T6, T7, α=0.95
6	0	0	5	22.7 20.9 18.9 17.7 14.9	10	32.3 30.2 28.1 25.2 23.6	15	34.7 32.9 29.9 29.3 27.0	20	36.5 34.1 32.3 30.0 29.1	25	41.6 39.6 37.9 34.7 32.6	30		42.1 41.0 38.3 35.8 33.9	T2, T3, α=0.99
7	0	0	10	24.2 27.7 19.4 16.5 14.0	20	34.2 31.8 30.0 26.8 25.0	30	40.0 38.3 36.1 34.1 29.9	40	45.3 41.2 38.5 36.6 34.1	50	49.0 46.9 44.8 42.5 39.5		60	52.1 49.5 46.8 43.8 39.8		T3, T4, α=0.90
8	0	0	5	25.2 22.7 20.4 17.5 15.0	10	35.2 32.8 31.0 27.8 26.0	15	41.1 39.3 37.0 35.4 30.9	20	46.3 42.2 39.5 36.6 35.0	25	50.1 47.9 44.8 43.5 40.5		30	53.1 50.5 47.8 44.8 40.8		T4, T5, α=0.95
9	0	0	10	28.2 25.7 23.4 20.5 18.0	20	38.2 35.8 34.0 30.8 29.1	30	44.2 42.3 40.0 38.4 33.9	40	49.3 45.2 42.5 40.6 38.0	50	53.1 50.9 47.8 46.5 43.5		60	56.1 53.5 50.8 47.8 43.8		T5, T6, α=0.99
10	0	0	5	32.3 30.3 26.5 24.4 22.0	10	47.0 44.6 41.8 39.2 36.6	15	57.2 55.0 52.2 49.5 46.8	20	62.8 60.3 56.8 55.0 52.7	25	69.9 67.6 65.1 61.7 59.6		30	72.8 70.5 67.9 65.0 62.4		T6, T7, α=0.90

Продовження табл. 4.1

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
11	0	0	10	33.5 31.5 27.7 25.6 23.3	20	48.2 45.8 43.1 40.4 37.8	30	58.5 56.2 53.4 50.7 48.0	40	64.1 61.5 58.0 56.2 53.9	50	71.7 68.8 66.3 62.9 60.8	60	74.1 71.7 69.1 66.2 63.6	T4, T5, α=0.95
12	0	0	5	35.5 33.3 29.7 27.6 25.3	10	50.2 47.8 45.1 42.4 39.8	15	60.5 58.2 55.4 52.7 50.0	20	66.1 63.5 60.0 58.2 55.9	25	73.1 70.8 68.3 64.9 62.8	30	76.1 73.7 71.7 68.2 65.6	T5, T6, α=0.99
13	0	0	10	37.5 35.5 31.7 29.6 27.3	20	52.2 49.8 47.1 44.4 41.8	30	62.5 60.2 57.4 54.7 52.0	40	68.1 65.5 62.0 60.2 57.9	50	75.1 72.8 70.3 66.9 64.9	60	78.1 75.7 73.1 70.2 67.6	T6, T7, α=0.90

В табл. 4.2 приведене значення ν_max - mах можливе значення ν, виникаюче внаслідок статистичного розбалансу та відповідно заданій надійності α.

Таблиця 4.2 – Значення ν_max при різних значеннях вимірювань n для різної надійності α

n	α=90	α=95	α=99
3	1.41	1.41	1.41
4	1.64	1.69	1.72
5	1.79	1.81	1.96
6	1.89	2.0	2.13
7	1.97	2.09	2.26
8	2.04	2.17	2.37
9	2.10	2.24	2.46
10	2.15	2.29	2.54

Як видно з табл. 4.2, значення вимірів ν_max збільшується зі збільшенням надійності α та кількості вимірів n. Це означає, що можливість виникнення великих відхилень, виникаючих в наслідок математичного розбросу, росте при збільшені кількості вимірів.

Якщо різко відрізняється значення Y_max, отримане в серії із n вимірів, і відповідно ν > ν_max при заданому значенні, то це означає, що дане значення можна розглядати як промах. Тобто його необхідно виключити та визначити нові значення .

2. Для кращої побудови графіка серію вимірювань для кожної точки усереднюємо (у₁+у₂+...+у_n)/n. Типовий графік показано на рис.4.1.

3. Побудований графік порівнюємо з графіками типових функцій, представленими у математичних довідниках, і встановлюємо функціональну залежність для кожного випадку.

4. Так як схожість графіків визначена на око, то може статись помилка, необхідно попередньо вибрану залежність перевіряти за методом вирівнювання.

Він складається з наступного: припустимо, що між х та у є залежність визначеного типу. Виходячи з цього припущення, знаходимо деякі величини X = (х,у); Y= (х,у), які при нашому припущенні пов'язані лінійною залежністю, наприклад, якщо у = х/(а + b х), то беремо X = 1/х та Y =1/у. Обчислюючи для даних значень х і у відповідні значення Х та Y та зображуючи їх графічно, легко побачити, чи близька залежність поміж Х та Y до лінійної (чи лягають відповідні точки приблизно на пряму лінію) та, отже, чи підходить вибрана залежність або ні. Для простих степеневих функцій типу y=a x вони вирівнюються:

X=lg x та Y=lg y, тобто Y=lg а+bХ.

5. Остаточно вибравши функціональну залежність, приступаємо до її численного рішення. Найбільш точний та бездоганний спосіб побудови на площині найкращої залежності по деякій групі точок – метод найменших квадратів. Згідно цього методу пряма або крива на графіку повинна займати положення, при якому сума квадратів відхилень точок від цієї лінії є мінімальна. Саме це правило і пояснює походження виразу «метод найменших квадратів».

Розглянемо декілька конкретних лінійних та нелінійних функціональних залежностей, які оброблюються за допомогою метода найменших квадратів. Нехай відомо, що залежність між х та у висловлюється лінійним рівнянням y(x)=ax+b. Примінивши метод найменших квадратів, знайдемо числове значення a та b. Згідно прийнятому методу сума квадратів відхилень виміряних величин x_і від вирахуваної за рівнянням y=a+bх повинна бути найменшою, тобто :

З цієї умови, диференціюючи його спочатку по а, а потім по b, отримаємо два рівняння :

,

,

де N – кількість виміряних точок (для даного випадку N=6, перші точки не враховуємо, бо x=0, y=0 ).

Р ис. 4.1 – Попередньо збудований графік залежності у=f(x)

Рис. 4.2 – Графік залежності У = 10,2х

Після перетворення отримаємо систему з двох рівнянь :

Підставляючи в ці рівняння числові значення N, , , , можна визначити параметри а та b.

Для функції типу y(x)=a+bx+cх² кінцеве рішення виражається системою з трьох рівнянь :

Якщо між функцією та аргументом існує довільна степенева залежність, то метод найменших квадратів необхідно примінити не до самих величин, а до їх логарифмів. Нехай маємо залежність виду :

y(x)= a x^k

Логарифмуючи її, отримуємо :

lgy= lga+k·lgx.

Для спрощення рішення задачі введемо позначення :

lgy=Y; lga=A; lgx= X;

Тоді Y=A+kХ.

Для цієї залежності кінцеве рішення виражається системою з двох рівнянь :

Для забезпечення підрахунків створюємо таблиці, в які вносимо числові значення величин, що входять до рівняння. Для останнього розглянутого випадку наведемо табл. 4.3.

Таблиця 4.3 – Розрахункові дані

і	Y	Хі	Yi=lgyi	Xi=lgxi	YiXi	X
1
2
…	…	…	…	…	…	…
N
Сума

Після числового рішення функціональної залежності приступаємо до побудови графіка. На графіку проводимо пряму (криву), отриману розрахунковим шляхом (рис.4.2.) та відкладаємо поле точок.

6. Довірчий інтервал визначаємо для вказаних контрольних точок. Він може бути представлений у вигляді:

де – середнє значення у;

n- кількість вимірювань у даній точці (n=5);

t_α – коефіцієнт Ст’юдента (табл. 4.4);

– середня квадратична похибка окремої серії вимірювань;

у - дійсне значення величини, що вимірюється.

Таблиця 4.4 – Значення коефіцієнта Ст’юдента .

n – 1	α
	0.90	0.95	0.99
1	6.31	12.7	63.7
2	2.92	4.30	9.92
3	2.35	3.18	5.84
4	2.13	2.78	4.60
5	2.02	2.57	4.03
6	1.84	2.45	3.71

Межі довірчого інтервалу для контрольних точок будуємо так, як показано на рис. 4.2.

7. Відносну похибку знаходимо за формулою :

де – інтервал похибок у (береться з раніше обчисленого значення

довірчого інтервалу).

5. Зміст звіту

1. Привести стислі відомості про методи обробки експериментальних даних.

2. Привести таблицю конкретного варіанту.

3. Описати метод виключення промахів та результати.

4. Описати методику вибору функціональної залежності.

5. Привести результати числового рішення функціональної залежності, побудувати графік.

6. Привести відомості про величини довірчого інтервалу та відносної помилки вимірювання.