Задача 5. Задано уравнение колебания неограниченной струны:
,
,
.
Начальные условия
Построить
положение струны для моментов времени
,
где
.
5.1.
,
.
5.2.
,
.
5.3.
,
.
5.4.
,
.
5.5.
,
.
5.6.
,
.
5.7.
,
.
5.8.
,
.
5.9.
,
.
5.10.
,
.
5.11.
,
.
5.12.
,
.
5.13.
,
.
5.14.
,
.
5.15.
,
.
5.16.
,
.
5.17.
,
.
5.18.
,
.
5.19.
,
.
5.20.
,
.
5.21.
,
.
5.22.
,
.
5.23.
,
.
5.24.
,
.
5.25.
,
.
5.26.
,
.
5.27.
,
.
5.28.
,
.
5.29.
,
.
5.30.
,
.
Задача 6. Задано уравнение колебания полуограниченной струны:
,
,
.
Начальные условия
Граничное условие
или
.
Построить положение струны для моментов времени , где .
6.1.
,
,
.
6.2.
,
,
.
6.3.
,
,
.
6.4.
,
,
.
6.5.
,
,
.
6.6.
,
,
.
6.7.
,
,
.
6.8.
,
,
.
6.9.
,
,
.
6.10.
,
,
.
6.11.
,
,
.
6.12.
,
,
.
6.13.
,
,
.
6.14.
,
,
.
6.15.
,
,
.
6.16.
,
,
.
6.17.
,
,
.
6.18.
,
,
.
6.19.
,
,
.
6.20.
,
,
.
6.21.
,
,
.
6.22.
,
,
.
6.23.
,
,
.
6.24.
,
,
.
6.25.
,
,
.
6.26.
,
,
.
6.27.
,
,
.
6.28.
,
,
.
6.29.
,
,
.
6.30.
,
,
.
Задача 7. Решить смешанную задачу для волнового уравнения на отрезке.
7.1.
,
,
,
,
,
,
.
7.2.
,
,
,
,
,
.
7.3.
,
,
,
,
,
,
.
7.4.
,
,
,
,
,
.
7.5.
,
,
,
,
,
,
.
7.6.
,
,
,
,
,
.
7.7.
,
,
,
,
,
,
.
7.8.
,
,
,
,
,
.
7.9.
,
,
,
,
,
,
.
7.10.
,
,
,
,
,
.
7.11.
,
,
,
,
,
,
.
7.12. , , ,
,
,
.
7.13. , , ,
,
,
,
.
7.14. , , ,
,
,
.
7.15. , , ,
,
,
,
.
7.16.
,
,
,
,
,
.
7.17.
,
,
,
,
,
,
.
7.18.
,
,
,
,
,
.
7.19. , , ,
,
,
,
.
7.20. , , ,
,
,
.
7.21. , , ,
,
,
,
.
7.22.
,
,
,
,
,
.
7.23.
,
,
,
,
,
,
.
7.24.
,
,
,
,
,
.
7.25. , , ,
,
,
,
.
7.26. , , ,
,
,
.
7.27.
,
,
,
,
,
,
.
7.28.
,
,
,
, , .
7.29.
,
,
,
,
,
,
.
7.30.
,
,
,
,
,
.
Задача 8. Решить смешанную задачу для волнового уравнения на отрезке.
№ вар. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
2 |
3 |
2 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
3 |
5 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
4 |
2 |
2 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
5 |
7 |
3 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
6 |
3 |
2 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
7 |
4 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
8 |
5 |
3 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
9 |
2 |
4 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
10 |
8 |
2 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
11 |
4 |
3 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
12 |
3 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
13 |
7 |
4 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
14 |
5 |
2 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
15 |
2 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
16 |
4 |
2 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
17 |
3 |
3 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
18 |
5 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
19 |
7 |
4 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
20 |
9 |
3 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
21 |
5 |
2 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
22 |
3 |
4 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
23 |
2 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
24 |
1 |
3 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
№ вар. |
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
7 |
2 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
26 |
6 |
4 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
27 |
5 |
3 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
28 |
4 |
2 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
29 |
3 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
30 |
7 |
2 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
Задача
9. Решить
смешанную задачу для данного неоднородного
волнового уравнения с нулевыми начальными
и граничными условиями
,
.
9.1.
.
9.2.
.
9.3.
.
9.4.
.
9.5.
.
9.6.
.
9.7.
.
9.8.
.
9.9.
.
9.10.
.
9.11.
.
9.12.
.
9.13.
.
9.14.
.
9.15.
.
9.16.
.
9.17.
.
9.18.
.
9.19.
.
9.20.
.
9.21.
.
9.22.
.
9.23.
.
9.24.
.
9.25.
.
9.26.
.
9.27.
.
9.28.
.
9.29.
.
9.30.
.
Задача 10. Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения в прямоугольнике.
10.1.
,
,
,
.
10.2.
,
,
,
.
10.3.
,
,
,
.
10.4.
,
,
,
.
10.5.
,
,
,
.
10.6. ,
,
,
.
10.7. ,
,
,
.
10.8. ,
,
,
.
10.9.
,
,
,
.
10.10.
,
,
,
.
10.11. ,
,
,
.
10.12. ,
,
,
.
10.13. ,
,
,
.
10.14. ,
,
,
.
10.15. ,
,
,
.
10.16. ,
,
,
.
10.17. ,
,
,
.
10.18. ,
,
,
.
10.19. ,
,
,
.
10.20. ,
,
,
.
10.21. ,
,
,
.
10.22. ,
,
,
.
10.23. ,
,
,
.
10.24. ,
,
,
.
10.25. ,
,
,
.
10.26.
,
,
,
.
10.27.
,
, ,
.
10.28.
,
, ,
.
10.29.
,
, ,
.
10.30.
,
,
,
.
Задача 11. Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения в круге.
11.1.
,
,
,
,
.
11.2.
,
,
,
,
.
11.3.
,
,
,
,
.
11.4.
,
,
,
,
.
11.5.
,
,
,
,
.
11.6.
,
,
,
,
.
11.7.
,
,
,
,
.
11.8.
,
,
,
,
.
11.9.
,
,
,
,
.
11.10.
,
,
,
,
.
11.11.
,
,
,
,
.
11.12.
,
,
,
,
.
11.13.
,
,
,
,
.
11.14.
,
,
,
,
.
11.15.
,
,
,
,
.
11.16.
,
,
,
,
.
11.17.
,
,
,
,
.
11.18.
,
,
,
,
.
11.19.
,
,
,
,
.
11.20.
,
,
,
,
.
11.21.
,
,
,
,
.
11.22.
,
,
,
,
.
11.23.
,
,
,
,
.
11.24.
,
,
,
,
.
11.25.
,
,
,
,
.
11.26. , ,
,
, .
11.27.
,
,
,
, .
11.28.
,
,
,
, .
11.29. , ,
,
, .
11.30. , ,
,
, .
Задача
12. Проверить,
является ли функция
гармонической, если
– гармоническая.
12.1.
– гармоническая,
.
12.2.
– гармоническая,
.
12.3.
– гармоническая,
.
12.4.
– гармоническая,
.
12.5.
– гармоническая,
.
12.6.
– гармоническая,
.
12.7.
– гармоническая,
.
12.8.
– гармоническая,
.
12.9.
– гармоническая,
.
12.10.
– гармоническая,
.
12.11.
– гармоническая,
.
12.12.
– гармоническая,
.
12.13.
– гармоническая,
.
12.14.
– гармоническая,
.
12.15.
– гармоническая,
.
12.16.
– гармоническая,
.
12.17.
– гармоническая,
.
12.18.
– гармоническая,
.
12.19.
– гармоническая,
.
12.20.
– гармоническая,
.
12.21.
– гармоническая,
.
12.22.
– гармоническая,
.
12.23.
– гармоническая,
.
12.24.
– гармоническая,
.
12.25.
– гармоническая,
.
12.26.
– гармоническая,
.
12.27.
– гармоническая,
.
12.28.
– гармоническая,
.
12.29.
– гармоническая,
.
12.30.
– гармоническая,
.
Задача 13. Найдите гармонически сопряженную функцию для данной функции.
13.1.
.
13.2.
.
13.3.
.
13.4.
.
13.5.
.
13.6.
.
13.7.
.
13.8.
.
13.9.
.
13.10.
.
13.11.
.
13.12.
.
13.13.
.
13.14.
.
13.15.
.
13.16.
.
13.17.
.
13.18.
.
13.19.
.
13.20.
.
13.21.
.
13.22.
.
13.23.
.
13.24.
.
13.25.
.
13.26.
.
13.27.
.
13.28.
.
13.29.
.
13.30.
.
Задача
14. Решить
задачу Дирихле для уравнения Лапласа
в круге
,
,
.
14.1.
.
14.2.
.
14.3.
.
14.4.
.
14.5.
.
14.6.
.
14.7.
.
14.8.
.
14.9.
.
14.10.
.
14.11.
.
14.12.
.
14.13.
.
14.14.
.
14.15.
.
14.16.
.
14.17.
.
14.18.
.
14.19.
.
14.20.
.
14.21.
.
14.22.
.
14.23.
.
14.24.
.
14.25.
.
14.26.
.
14.27.
.
14.28.
.
14.29.
.
14.30.
.
Задача 15. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге , , .
15.1. 
. 15.2. 
.
15.3. 
. 15.4. 
.
15.5. 
. 15.6. 
.
15.7. 
. 15.8. 
.
15.9. 
. 15.10. 
.
15.11. 
. 15.12. 
.
15.13. 
. 15.14. 
.
15.15. 
. 15.16. 
.
15.17. 
. 15.18. 
.
15.19. 
. 15.20. 
.
15.21. 
. 15.22. 
.
15.23. 
. 15.24. 
.
15.25. 
. 15.26. 
.
15.27. 
. 15.28. 
.
15.29. 
. 15.30. 
.
Задача
16. Решить
краевую задачу для уравнения Пуассона
в кольце.
,
,
.
,
,
.
,
,
.
,
,
.
,
,
.,
,
.
,
,
.,
.,
,
.,
,
.,
,
.
,
,
., ,
., , .
, ,
., , .
, , .
, ,
., ,
., , .
,
,
.,
,
.,
,
., ,
.,
,
.
,
,
.,
,
., ,
.
,
,
.
,
,
.
Задача 17. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольнике:
,
,
,
,
,
где
– номер варианта,
,
если
– четное,
,
если
– нечетное,
.
Задача
18. Решить
задачу Дирихле для уравнения Лапласа
в шаре
,
.
18.1.
,
.
18.2.
,
.
18.3.
,
.
18.4.
,
.
18.5.
,
.
18.6.
,
.
18.7.
,
.
18.8.
,
.
18.9.
,
.
18.10.
,
.
18.11.
,
.
18.12.
,
.
18.13.
,
.
18.14.
,
.
18.15.
,
.
18.16.
,
.
18.17.
,
.
18.18.
,
.
18.19.
,
.
18.20.
,
.
18.21.
,
.
18.22.
,
.
18.23.
,
.
18.24.
,
.
18.25.
,
.
18.26.
,
.
18.27.
,
.
18.28.
,
.
18.29.
,
.
18.30.
,
.
Задача
19. Решить
задачу Дирихле для уравнения Лапласа
в шаровом слое,
,
,
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
Задача
20. Найти
функцию, удовлетворяющую внутри круга
уравнению Гельмгольца
и принимающую на границе круга заданные
значения
.
20.1.
. 20.2.
.
20.3.
. 20.4.
.
20.5.
. 20.6.
.
20.7.
. 20.8.
.
20.9.
. 20.10.
.
20.11.
. 20.12.
.
20.13.
. 20.14.
.
20.15.
. 20.16.
.
20.17.
. 20.18.
.
20.19.
. 20.20.
.
20.21.
. 20.22.
.
20.23.
. 20.24.
.
20.25.
. 20.26.
.
20.27.
. 20.28.
.
20.29.
. 20.30.
.
Задача 21. Решить параболическое уравнение методом конечных разностей.
,
,
,
,
,
.
В вариантах 1 – 9 использовать формулу:
,
.
21.1.
,
,
.
21.2.
,
,
.
21.3.
,
,
.
21.4.
,
,
.
21.5.
,
,
.
21.6.
,
,
,
.
21.7.
,
,
,
.
21.8.
,
,
,
.
21.9.
,
,
,
.
В вариантах 10 – 13 использовать формулу:
,
.
21.10.
,
,
,
.
21.11.
,
,
,
.
21.12.
,
,
,
.
21.13.
,
,
,
.
В вариантах 14 – 18 использовать формулу:
,
.
21.14.
,
,
,
.
21.15.
,
,
,
.
21.16.
,
,
,
.
21.17.
,
,
,
.
21.18.
,
,
,
.
В вариантах 19 – 21 использовать формулу:
,
.
21.19.
,
,
.
21.20.
,
,
.
21.21.
,
,
.
В вариантах 22 – 25 использовать формулу:
,
.
21.22.
,
,
,
.
21.23.
,
,
,
.
21.24.
,
,
,
.
21.25.
,
,
,
.
В вариантах 26 – 30 использовать формулу:
,
.
21.26.
,
,
.
21.27.
,
,
.
21.28.
,
,
.
21.29.
,
,
.
21.30.
,
,
,
.
Задача 22. Решить гиперболическое уравнение методом конечных разностей.
,
,
,
,
.
В вариантах 1 – 6 использовать формулы:
,
,
.
22.1.
,
,
,
.
22.2. , , , .
22.3.
,
,
,
.
22.4.
,
,
,
.
22.5.
,
,
,
.
В вариантах 1 – 6 использовать формулы:
,
,
.
22.6.
,
,
,
.
22.7.
,
,
,
.
22.8.
,
,
,
.
22.9. , , , .
22.10.
,
,
,
.
22.11.
,
,
,
,
.
22.12.
,
,
,
,
.
22.13.
,
,
,
,
.
22.14.
,
,
,
,
.
22.15.
,
,
,
,
.
22.16.
,
,
,
,
.
22.17.
,
,
,
,
.
22.18.
,
,
,
,
.
22.19.
,
,
,
,
.
22.20.
,
,
,
,
.
22.21.
,
,
,
,
.
22.22.
,
,
,
,
.
22.23.
,
,
,
,
.
22.24.
,
,
,
,
.
22.25.
,
,
,
,
.
22.26.
,
,
,
,
.
22.27.
,
,
,
,
.
22.28.
,
,
,
,
.
22.29.
,
,
,
,
.
22.30.
,
,
,
,
.
Задача
23. Используя
условие задачи 21, решить параболическое
уравнение, применяя неявную разностную
схему
.
Задача 24. Применяя метод сеток, найти решение уравнения Лапласа в точках p, q, r, s квадрата при краевых условиях, указанных на рисунке.
24.1
,
. 24.2.
,
.
24.3
,
. 24.4.
,
.
24.5.
,
. 24.6.
,
.
24.7. , . 24.8. , .
24.9. , . 24.10. , .
24.11.
,
. 24.12.
,
.
24.13.
,
. 24.14.
,
.
24.15.
,
. 24.16.
,
.
24.17.
,
. 24.18.
,
.
24.19.
,
. 24.20.
,
.
24.21.
,
. 24.22.
,
.
24.23.
,
. 24.24.
,
.
24.25.
,
. 24.26.
,
.
24.27.
,
. 24.28.
,
.
24.29.
,
. 24.30.
,
.
Задача
25. Используя
метод сеток, составить решение уравнения
Лапласа
с заданным граничным условием
на контуре
.
25.1.
, 
.
25.2.
, 
.
25.3.
, 
.
25.4.
, 
.
25.5.
,
.
25.6.
,
.
25.7. , .
25.8. , .
25.9.
,
.
25.10. , .
25.11.
, 
.
25.12.
, 
.
25.13.
, 
.
25.14.
, 
.
25.15.
,
.
25.16.
, 
.
25.17.
, 
.
25.18.
, 
.
25.19. , .
25.20.
,
.
25.21.
, 
.
25.22.
, 
.
25.23.
,
.
25.24. , .
25.25.
, 
.
25.26.
, 
.
25.27. , .
25.28.
,
.
25.29. , .
25.30.
,
.