6°.Гомоморфизм и изоморфизм групп.

Определение 18. Пусть и − множества, и − бинарные операции (на и соответственно). Гомоморфизмом из в называется отображение такое, что

Пример. Отображение является гомоморфизмом из (R, +) в (R, ). Это следует из справедливости равенства

Замечания.

1. Аналогично определяется понятие гомоморфизма, если на множествах и определены несколько операций.

2. Так как полугруппа, группа, кольцо и так далее являются множествами с операциями, то очевидно, как определяются понятия гомоморфизма полугрупп, групп и так далее.

Определение 19. Изоморфизм − это биективный гомоморфизм.

Определение 20. Говорят, что пара изоморфна паре , если изоморфизм из в .

Обозначение. означает, что изоморфно . Иногда пишут .

Примеры.

1. Отображение является изоморфизмом из (R; +) в (R_>0; ). Действительно, это отображение является гомоморфизмом (см. предыдущий пример) и биективным отображением (в силу свойств экспоненциальной функции).

2. В начале §1 комплексные числа определялись как пары действительных чисел. Множество пар вида отождествлялись с множеством действительных чисел R. Это возможно в силу изоморфизма этих двух множеств.

Отображение C C такое, что , является изоморфизмом.

3. Отображение R R такое, что , является изоморфизмом аддитивной группы и не является гомоморфизмом мультипликативной группы. Действительно, , но .

Теорема 7. Пусть − изоморфизм. Тогда

1. если − коммутативна, то − также коммутативна;

2. аналогично для ассоциативности;

3. если − нейтральный элемент в относительно , то − нейтральный элемент в относительно ;

4. если и − взаимно обратные элементы из , то и − взаимно обратные из .

Доказательство.

1. Пусть и . Докажем, что . Так как и , то последнее равенство можно переписать в равносильном виде , что равносильно . Справедливость последнего равенства следует из коммутативности операции .

2. Доказывается аналогично 1). Пусть . Тогда : , , . Далее по аналогии.

3. Пусть . Докажем, что . Пусть . Тогда . Аналогично доказывается .

4. Пусть , где − нейтральный элемент в . Действуя на все элементы этого равенства функцией , получаем требуемое равенство.■

Следствие. Из доказанной теоремы следует, что если и − группа, то − также группа. Аналогично для колец и полей.

Теорема 8. Все бесконечные циклические группы изоморфны между собой. Изоморфны между собой также и все конечные циклические группы данного порядка .

Доказательство. Действительно, любая бесконечная циклическая группа с образующим элементом отображается взаимно однозначно на аддитивную группу (Z, +), если каждому элементу этой группы ставится в соответствие число . Это отображение является изоморфизмом, так как согласно (3) при перемножении степеней элемента показатели складываются. Если рассматривается конечная циклическая группа порядка с образующим элементом , то, рассматривая мультипликативную группу корней ­−ой степени из единицы и обозначая , изоморфизм строится сопоставлением элементу группы числа C. Изоморфность такого отображения следует из следствия к теореме 2 из § 1.■

37