10. Частица в потенциальной яме
1. Физический смысл квадрата пси-функции
Сопоставим два
уравнения: для электромагнитной волны
и для волны де Бройля
.
Плотность энергии в электромагнитной
волне по волновой теории пропорциональна
квадрату напряженности электрического
поля:
,
а по корпускулярной теории света
плотность энергии пропорциональна
плотности потока фотонов
.
Аналогично квадрат пси-функции будет
пропорционален плотности потока частиц.
Если рассматривается движение одной
частицы, то квадрат пси-функции будет
равен плотности вероятности нахождения
частицы (то есть вероятности нахождения
в единичном объеме) в рассматриваемой
точке пространства:
.
Для определения вероятности нахождения
частицы в заданном объеме следует
проинтегрировать по объему V.
Если пси функция не содержит мнимой
части, то
.
Из физического
смысла квадрата пси-функции определяются
ограничения на возможные решения
уравнения Шредингера. Пси-функция
должна быть однозначна, ограничена, не
иметь разрывов, то есть пси-функция и
её первая производная должны быть
непрерывны. Должно выполняться условие
нормировки: если частица находится в
рассматриваемом объеме, то вероятность
ее нахождения там равна единице:
.
2. Частица в потенциальной яме
Потенциальной ямой называется область пространства, в которой потенциальная энергия меньше, чем в окружающем пространстве. Например, атом для электрона, ядро атома для протонов и нейтронов, объем металла для электронов. Классической потенциальной ямой является обычная яма на поверхности Земли, например для шарика. Но если движение шарика подчиняется законам классической механики Ньютона, то движение электрона в атоме, оказывается, подчиняется не законам Ньютона, а законам квантовой механики. Рассмотрим простейшую задачу квантовой механики о движении частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.
Пусть частица массы m находится в потенциальной яме шириной l, внутри которой потенциальная энергия равна нулю, а за пределами ямы бесконечно высока (рис. 1). Пусть частица движется вдоль координатной оси х перпендикулярно стенкам. Применим для решения задачи амплитудное уравнение Шредингера
. (4)
Чтобы за пределами ямы выполнялось равенство нулю уравнения при бесконечно большом значении потенциальной энергии, приходится положить значение пси-функции вне ямы равным нулю, ψ = 0. То есть появляться за пределами ямы частице запрещено.
Внутри ямы уравнение
Шредингера принимает вид
.
Здесь введено обозначение
.
Будем искать решение этого дифференциального
уравнения в виде суммы гармонических
функций
.
Определим постоянные
интегрирования А и В. Из условия
непрерывности пси-функции на границах
ямы пси-функция должна быть равной нулю.
Подставив в искомое решение х = 0, получим
,
откуда В = 0. Подставив x
= l,
получим
.
Это возможно, если
,
то есть число n
= 1, 2, 3…принимает целые значения. Такие
решения уравнения Шредингера называются
собственными функциями
. (5)
На рис. 2 изображены графики нескольких собственных функций и их квадратов. Если в классической потенциальной яме шарик с равной вероятностью может оказаться в любом месте ямы, то квантовая частица чаще, с большей вероятностью, находится там, где квадрат пси функции имеет наибольшее значение. Лишь при огромном значении квантового числа n наиболее вероятные положения частицы сближаются, приближаясь к классическому распределению.
Подставим в условие
квантования
соотношение параметра с энергией
,
получим самый важный вывод квантовой
механики: энергия частицы, запертой в
потенциальной яме, может принимать не
любые, а только дозволенные значения
энергии:
(6)
Чем меньше размер потенциальной ямы, тем энергия выше. Например, электрон в атоме (l= 10-10 м) имеет по этой формуле энергию около 10 эВ, а если его локализовать в ядре атома (l =10-14 м), то его энергия должна быть в 108 раз больше. Столь огромной энергией, во много раз большей энергии покоя (109 эВ >> 0,51∙106 эВ), электрон обладать не может и значит внутри ядра он существовать не может.
3. Прохождение частиц через потенциальный барьер
11. АТОМ ВОДОРОДА В КВАНОТОВОЙ МЕХАНИКЕ
1. Уравнение Шредингера для атома водорода
2. Решение радиальной части уравнения, квантование энергии атома
3. Решение угловой части уравнения, квантование орбитального момента импульса и проекции момента импульса электрона
4. Спин электрона, Опыты Штерна– Герлаха.
5. Принцип Паули, распределение электронов в многоэлектронных атомах. Таблица Менделеева.