Тема 17

Диференційованість функції багатьох змінних. Похідна за напрямом. Градієнт.

Мета заняття Засвоєння понять похідної за напрямом та градієнта; розвивати логічне мислення, виховувати інтерес до математики.

Студенти повинні знати: поняття диференційованості функції багатьох змінних; формули похідної за напрямом та градієнта функції.

Студенти повинні вміти: обчислювати похідну за напрямом та градієнт функції.

Основні питання теми

1.Поняття диференційованої функції в точці;

2.Неперервність диференційованої функції;

3.Існування частинних похідних диференційованої функції;

4.Достатня умова диференційованості;

5.Повний диференціал та його застосування до обчислення функцій і похибок.

6.Диференціали вищих порядків;

7.Похідна за напрямом;

8.Градієнт;

9.Приклади

Свої набуті знання ви можете перевірити в наступному тесті

1.Якщо кожній парі чисел (х;у) є D за певним законом відповідає число z, то кажуть, що на множині D визначено функцію z = f(х;у), яка називається...

а)неявною функцією б)параметричною функцією

в)каноничною функцією г)функцією двох змінних

2.Якщо функція z = f(М) диференційовна в точці м, то вона в цій точці...

а)розривна б)екстремальна

в)неперервна г)стала

3.Вектор, координатами якого є значення частинних похідних функції u(x;y;z) в точці М(х;у;z) називається...

а)градієнтом функції б)ортом функції

в)полем функції г)напрямком функції

4.Лінію, що обмежує область визначення D називають...

а)областю визначення функції б)межею області визначення

в)графіком функції г)лінією рівня

5.Швидкість зростання скалярного поля в довільній точці є максимальною у напрямі...

а)градієнта б)області визначення

в)похідної за напрямом г)множини значень

6.Градієнт суми двох функцій ...

а)дорівнює добутку градієнтів цих функцій б)не існує

в)сумі градієнтів цих функцій г) дорівнює 0

7.Похідна за напрямом вектора, що перпендикулярний до градієнта...

а)дорівнює 0 б)не існує

в)дорівнює 1 г)дорівнює 5

Завдання для самоперевірки

1.Знайти похідну функції u = х² – 2хz + у² в точці А(1;2;-1) за напрямом від точки А до точки В(2;4;-3). З'ясувати характер зміни поля в даному напрямі.

2.Знайти найбільшу швидкість зростання поля u = х^у - z в точці М(1;2;3).

3.Знайти похідну функції у точці за напрямом, що утворює із осями координат рівні гострі кути.

4.Знайти похідну функції у точці за напрямом від точки М до точки .

5. Знайти похідну функції у точці за напрямом вектора , де .

6. Знайти похідну функції у точці за напрямом, що утворює з осями координат кути відповідно 60, 45, 60.

7. Знайти похідну функції у точці за напрямом найбільшого зростання функції.

8.Знайти функції у точці за напрямом бісектриси четвертого координатного кута.

9. Знайти у точці , якщо .

10.Знайти величину і напрям в точці , якщо .

11. Знайти кут між градієнтами функції у точках і .

• 12. Знайти кут між градієнтами функції у точ­ках та .

13.Знайти в точці кут між градієнтами функцій: та .

14.Знайти напрям найбільшої зміни функції у початку координат.

15. Знайдіть точку, в якій градієнт функції дорівнює .

16. Функції та — диференційовні. Доведіть, що:

а) ;

б) .

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001

Гл.6, стор. 294- 318.

Лекція „Диференційовність функції двох змінних”

Рис. 1

Нехай функція визначена в деякому околі точки . Надамо незалежним змінним х та у приростів х і у так, щоб точка не виходила за межі зазначеного околу. Тоді й точки ,

також потраплять у цей окіл (рис. 1).

Означення. Різницю називають повним приростом функції за х та у при переході від точки до точки і позначають . Різницю називають частинним приростом за х функції , а різницю — частинним приростом за у цієї функції. Позначають ці прирости відповідно і . Отже,

З ауваження. Аналогічно визначаються прирости функції більш ніж двох змінних.

Повний диференціал функції двох змінних

Означення. Функція називається диференційовною в точці , якщо її повний приріст можна подати у вигляді:

де А, В — деякі числа; ,  — нескінченно малі при , . Головна лінійна частина приросту функції, тобто , називається повним диференціалом функції (точніше — першим диференціалом) у точці ; позначається або Таким чином,

(1)

Диференціалом незалежної змінної x або y називають її приріст, тобто за означенням беруть ,

Якщо функція f диференційовна в кожній точці множини , то її називають диференційовною на множині D.

Отже, у кожній точці, де виконується рівність (1), повний диференціал функції обчислюється за формулою

(2)

Теорема . Якщо функція диференційовна в точці і , то в точці існують частинні похідні

,

Якщо частинні похідні функції f існують у кожній точці множини , то говорять, що функція f має частинні похідні на множині D.

Аналогічно визначають і позначають частинні похідні трьох і більше змінних.

Для повного диференціала формула (2) узагальнюється на випадок диференційовної функції n змінних :

(4)

З найти якщо .

^● Знайдемо спочатку , , :

;

;

.

Звідси за формулою (4) дістанемо:

Властивості повного диференціала

Для будь-яких диференційовних функцій , справджуються рівності:

, де ,  — сталі; (5)

;

, .

Похідна за напрямом. Градієнт

Означення. Нехай функція визначена в деякому околі точки ; l — деякий промінь з початком у точці ; — точка на цьому промені, яка належить околу точки (рис. 2); — довжина відрізка . Якщо існує , то ця границя називається похідною функції за напрямом l у точці і позначається .

Зокрема, — похідна функції за додатним напрямом осі х, а — похідна функції за додатним напрямом осі у.

Рис. 2

Похідна за напрямом характеризує швидкість зміни функції у точці за напрямом l.

Теорема. Якщо функція має в точці неперервні частинні похідні, то в цій точці існує похідна за будь-яким напрямом , причому

(6)

де і — значення частинних похідних у точці .

З найти похідну функції у точці за напрямом

^● Знайдемо та обчислимо частинні похідні в точці функції :

Тоді за формулою (6) маємо:

.

Означення. Вектор з координатами , який характеризує напрям максимального зростання функції в точ­ці , називається градієнтом функції у цій точці і позначається :

(7) де i, j — одиничні орти.

З найти градієнт функції у точці .

^● Запишемо та обчислимо частинні похідні в точці :

;

Тоді згідно з (7) , або .

Аналогічно для диференційовної функції у точці похідна за напрямом довільного одинично­го вектора , подається так:

Означення. Градієнтом диференційовної функції у точці називають вектор де — одиничні орти, а значення частинних по- хідних обчислені в точці .

Властивості:

1. . 2. .

3. Якщо , то похідна досягає найбільшого значення при .

Частинні похідні і повні диференціали вищих порядків

Нехай функція має частинні похідні в усіх точках множини D. Візьмемо будь-яку точку . Якщо в цій точці існують частинні похідні і , то вони залежать від х і у, тобто вони є функціями двох змінних. Отже, можна ставити питання про відшукання їх частинних похідних. Якщо вони існують, їх називають частинними похідними другого порядку і позначають відповідно (читаємо: «де два зет по де ікс квадрат») або , або , або , або Аналогічно визначаються і позначаються частинні похідні третього і вищих порядків.

Нехай функція в околі точки має частинну похідну першого порядку .

Означення. Частинну похідну функції за змінною називають частинною похідною другого порядку за змінними і і позначають або

Отже, за означенням:

.

Якщо , похідну позначають .

Означення. Частинною похідною порядку називають частинну похідну першого порядку за будь-якою змінною від будь-якої похідної порядку.

Частинні похідні за різними змінними називають мішаними частинними похідними.

Теорема . Якщо дві мішані похідні порядку m, що відріз­няються лише порядком диференціювання, неперервні в деякій точці, то їх значення в цій точці збігаються.

З найти , якщо .

^● Маємо:

Знайти і для функції .

^● .

Означення. Диференціалом другого порядку функції називається диференціал її повного диференціала:

.

Аналогічно визначаються диференціали третього і вищих порядків:

.

Для диференціала порядку m справджується залежність:

(8)

У частинному випадку при формула (8) набирає вигляду:

(9)

З ауваження. Для складеної функції , де , , другий її диференціал, загалом, не подається через dx і dy згідно з формулою (9). Отже, для порядку не виконується властивість інваріантності форми диференціала щодо вибору змінних.

У разі функції n змінних формула (8) набирає вигляду:

(10)

де підсумовування виконується за всіма цілими невід’ємними , такими що .

При формула (10) подається так:

Знайти , якщо

^● , ;

, ; .

Згідно з (9) маємо:

Диференціювання неявної функції

І. Функція двох змінних. Функція визначає одну зі змінних х або у як неявну функцію іншої змінної. Поданий вираз — це деяке рівняння, що містить х та у і всі члени якого перенесені в ліву частину. Нехай . Тоді . Проте оскільки , то і Звідси

(11)

Розв’язавши рівняння (11) відносно (вважаючи, що і існують), знайдемо залежність (12)

Це так звана формула диференціювання неявної функції.

Нею подаються відносні швидкості зміни значень х щодо значень у, чим забезпечується незмінність f(x, y). Геометрично це означає, що точка (x, y) рухається вздовж кривої, рівняння якої є и = f(x, y), а (12) визначає для будь-якого моменту напрям її руху.

Д ля функції знайти .

^● Нехай

З рівняння (12) знаходимо:

.

В ідомо, що змінна х, проходячи через значення х = 3 дм, зростає зі швидкістю 2 дм/с. З’ясуємо, з якою швидкістю має змінюватись у при у = 1 дм, щоб функція 2ху² – 3х²у лишалася сталою.

^● Нехай

знаходимо частинні похідні цієї функції за х і за у:

Підставляючи в (18), маємо:

, або .

За умовою х = 3, у = 1, , звідки (дм/с).

З найти похідні від функцій

1.

^●

2.

^●

3.

^●

4.

^●

5.

^●

Функція трьох змінних. Нехай Р (х, у, z) — точка на поверхні, заданій рівнянням:

, (13)

і нехай РС і АР — перерізи, що утворюються площинами, проведеними через точку Р паралельно площинам Y0Z і X0Z (рис. 3). Для точок кривої АР змінна у лишається сталою. Отже, згідно з (13) z є неявною функцією лише х, а на підставі (16) виконується рівність:

(14)

Геометрична інтерпретація. Формула (14) визначає тангенс кута нахилу кривої АР у точці Р до осі 0х.

Рис. 3

У лівій її частині замість записано , оскільки згідно з (13) змінна z була спочатку неявною функцією х і у (формулу (14) виведено за припущення, що величина у лишається сталою).

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001

Гл.6, стор. 294- 318.