1.4 Вычисление интегралов типа

Пример 12 Если числитель постоянный, а в знаменателе стоит трёхчлен второй степени, то знаменатель нужно представить в виде суммы или разности квадратов:

Пример 13 Если в числителе стоит линейный двучлен, а в знаменателе трёхчлен второй степени, то прежде всего нужно преобразовать числитель так, чтобы из него можно было выделить производную знаменателя. Производная знаменателя , а потому числитель нужно умножить на и перед интегралом ввести множитель :

Интеграл представим в виде суммы двух интегралов:

1.5 Вычисление интегралов типа

Пример 14 Если числитель не содержит переменной x,а в знаменателе под радикалом стоит трёхчлен второй степени, то этот трёхчлен нужно представить в виде суммы или разности квадратов:

Пример 15 Если в числителе стоит линейный двучлен, то прежде всего нужно числитель преобразовать так, чтобы из него можно было выделить производную подкоренного выражения. Производная подкоренного выражения , а потому числитель нужно умножить на 2 и перед интегралом ввести множитель :

+

1.6 Метод интегрирования по частям

Этот метод опирается на равенство:

(I)

Для применения этого метода подинтегральное выражение следует представит в виде произведения одной функции на дифференциал другой функции. Если под интегралом стоит произведение логарифмической или обратной тригонометрической функции на алгебраическую, то за u следует принимать функции arc , arc , arc , arc и .

Если же под интегралом имеется произведение тригонометрической или показательной функции на алгебраическую, то за u обычно принимают алгебраическую функцию.

Пример 16 Вычислить интеграл .

Решение. Под интегралом произведение обратной тригонометрической функции на . Принимаем , отсюда:

Пользуясь равенством (I), получаем:

1.7 Интегрирование рациональных функций

Пусть под интегралом стоит рациональная дробь , где и - многочлены. В тех случаях, когда степень числителя больше или равна степени знаменателя, необходимо выделить целую часть, разделив числитель на знаменатель.

1-й случай. Корни знаменателя - действительные числа: , , ,…, и ни один из них не повторяется, т.е.

В этом случае дробь можно представить в виде суммы элементарных добей, т.е.

(I)

где коэффициенты , ,…, - постоянные.

Пример 17 Вычислить интеграл

Решение. Под интегралом дана рациональная дробь. Степень числителя ниже степени знаменателя, и знаменатель имеет действительные различные корни.

Пользуясь равенством (I), получаем:

(1)

или

Теперь нужно подобрать коэффициенты так, чтобы дроби были равны тождественно, а следовательно, чтобы имело место тождество:

(2)

Для вычисления коэффициентов А, В, С пользуемся методом неопределённых коэффициентов. Раскрываем скобки в правой части последнего равенства и располагаем члены по степеням :

Если многочлены тождественно равны, то равны коэффициенты при одинаковых степенях . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему уравнений:

Решая систему методом Гаусса, находим:

Подставляя найденные значения в равенство (1), получаем

Если знаменатель дроби имеет действительные различные корни, то коэффициенты удобнее и быстрее вычислять иначе.

Применим второй способ для вычисления тех же коэффициентов,- метод частных значений.

Берём равенство:

(2)

и подставляем вместо значения

Каждое из этих чисел обращает в нуль два члена правой части равенства. Вообще при применении этого способа следует вместо подставлять такие числа, которые обращают в нуль ряд членов правой части.

Из равенства (2), выполняя подстановку, получаем:

Отсюда:

Теперь можно вычислить интеграл:

2-й случай. Знаменатель рациональной дроби имеет действительные кратные корни: т.е.

В этом случае рациональная дробь может быть представлена в виде суммы:

где постоянные коэффициенты.

Пример 18 Вычислить интеграл

Решение. Степень числителя ниже степени знаменателя. Знаменатель имеет действительные кратные корни. Пользуясь равенством (II), получаем:

Приводим правую часть к общему знаменателю и приравниваем числители:

В правой части раскрываем скобки и группируем члены по степеням :

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему уравнений:

Решив систему, получим:

Итак,

Следовательно,

3-й случай. Знаменатель рациональной дроби (многочлен с действительными коэффициентами) имеет как действительные, так и комплексные корни, причём среди комплексных корней нет повторяющихся. В этом случае знаменатель может быть представлен в виде произведения линейных множителей и множителей второй степени:

так как произведение двух линейных комплексных сопряжённых множителей равно квадратному трёхчлену с действительными коэффициентами:

Дробь, стоящая под интегралом, может быть представлена в виде суммы:

где постоянные коэффициенты.

Пример 19 Вычислить интеграл

Решение. Знаменатель имеет два действительных корня

и два различных комплексных корня

, а потому может быть представлен в виде произведения:

действительных множителей первой и второй степеней.

Пользуясь равенством (III), получаем:

Приводим правую часть к общему знаменателю и приравниваем числители дробей:

Представляя правую часть в виде многочлена, расположенного по степеням , получаем:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему уравнений:

Решив систему, получаем:

Отсюда:

Следовательно:

4-й случай. Знаменатель рациональной дроби имеет как действительные, так и комплексные корни, причём среди комплексных корней есть повторяющиеся. В этом случае знаменатель может быть представлен в виде произведения:

,

где

т.е. сумма показателей равна степени многочлена.

В этом случае дробь может быть представлена в виде суммы:

, (IV)

где ,…, ,…, ,…, постоянные коэффициенты.