7.2. Свойства определённого интеграла

 Свойство 1.

Е сли функции – интегрируемы на [a, b], то функции также интегрируемы на [a, b] и .

Свойство 2.

Если функция интегрируема на [a, b], то функция , где – постоянная, также интегрируема на [a, b] и .

С войство 3.

Для интегрируемой на [a, b] функции верно равенство: .

С ледствие.

Для интегрируемой функции верно равенство .

Свойство 4.

Для любых чисел и интегрируемой функции выполняется

с войство аддитивности определённого интеграла относительно промежутка интегрирования: .

Свойство 5.

Е сли подынтегральная функция на отрезке интегрирования не меняет знака, то определённый интеграл сохраняет тот же знак, что и функция, то есть: если для всех , то .

Свойство 6. (Интегрирование неравенств).

Если для всех х и интегрируемы на [a, b], то верно неравенство .

Свойство 7.

Если функция интегрируема на [a, b], то верно неравенство

.

Свойство 8. (Оценка интеграла).

П усть функция интегрируема на [a, b] и для всех , тогда .

Свойство 9. (Теорема о среднем).

Е сли функция непрерывна на [a, b], то существует точка , такая, что верно равенство .

Свойство 10. (Формула Ньютона–Лейбница).

П усть непрерывна на , – какая-либо первообразная для неё, тогда .

 

П ример 7.4.

О ценим значение интеграла , не вычисляя его.

Найдём значения и для подынтегральной функции на отрезке [0, 2]. Для этого найдём стационарные точки.

откуда стационарной точкой на отрезке [0, 2] является точка ( ). Вычислим значения функции на границе отрезка: , следовательно, .

Таким образом получим 0,5∙2 ≤ ≤ 0,6∙2, или 1 ≤ ≤ 1,2.

П ример 7.5.

Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.

Одна из первообразных подынтегральной функции равна , тогда

.

7.3. Основные методы вычисления определённого интеграла

1) Замена переменной в определённом интеграле.

Теорема 7.2.

Е сли функция непрерывна на отрезке и – функция, непрерывная вместе со своей производной на отрезке , причем a≤φ(t)≤b и φ(α)=a, φ(β)=b, тогда .

П ример 7.6.

Н айдем определенный интеграл заменой переменных.

П усть , тогда и, следовательно,

, .

Таким образом,

.

2) Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Пусть функции – непрерывны вместе со своими производными на [a, b], тогда или .

П ример 7.7.

Найдем определенный интеграл: интегрированием по частям.

.

П ример 7.8.

Найдем определенный интеграл: интегрированием по частям.

 

.