3. Інтегральна теорема Бернуллі
Якщо ймовірність появи випадкової події в кожному з n незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює , то для великих значень n імовірність появи випадкової події від mі до mj раз обчислюється за такою асимптотичною формулою:
,
(9)
де
,
(10)
а
є функцією Лапласа, табличне значення
(додаток
2 – підручник Жлуктенко).
Деякі основні властивості функції Лапласа
1. Ф(x) визначена на всій осі абсцис.
2. Ф(–x) = – Ф(x), отже, Ф(x) є непарною функцією.
3. Ф(0) = 0.
4. Ф(–
,
як непарна функція.
Графік функції Ф(х) зображено на рисунку 4
Рисунок 4 Рисунок 5
Розв’язуючи задачі, додержують такого правила:
, 
.
Практично
функція Лапласа застосовується для
значень
,
що ілюструє рис. 5.
Приклад 4. Верстат-автомат виготовляє однотипні деталі. Імовірність того, що виготовлена одна деталь виявиться стандартною, є величиною сталою і дорівнює 0,95. За зміну верстатом було виготовлено 800 деталей. Яка ймовірність того, що стандартних деталей серед них буде від 720 до 780 шт.
Розв’язання. За умовою задачі:
;
;
;
;
Застосуємо інтегральну теорему Бернуллі
,
де
,
-
табличні значення
.
;
;
Відповідь: ймовірність того, що стандартних деталей серед 800 виготовлених за зміну буде від 720 до 780 шт дорівнює 99,931%.
Приклад 5. В електромережу ввімкнено незалежно одну від одної 500 електролампочок, які освітлюють у вечірній час виробничий цех заводу. Імовірність того, що електролампочка в електромережі не перегорить, є величиною сталою і дорівнює 0,8. Яка ймовірність того, що з 500 електролампочок не перегорить: 1) не більш як 380 шт.; 2) не менш як 390 шт.
Розв’язання. За умовою задачі:
;
;
;
;
Застосуємо інтегральну теорему Бернуллі
,
де , - табличні значення
;
2) 
;
Застосуємо інтегральну теорему Бернуллі
,
де
,
-
табличні значення
;
;
Відповідь:1) ймовірність того, що з 500 електролампочок не перегорить не більш як 380 шт дорівнює 1,19%; 2) ймовірність того, що з 500 електролампочок не перегорить не менш як 390 шт дорівнює 86,86%.
Варіанти завдання
Варіант №1 1. Садівником восени було посаджено сім саджанців сливи. Імовірність того, що будь-який із саджанців навесні проросте, у середньому складає 0,7. Обчислити ймовірність того, що із семи саджанців сливи навесні проростуть: 1) три саджанці; 2) Знайти найімовірніше число саджанців, які навесні проростуть, і обчислити відповідну ймовірність.
2. Імовірність того, що покупець, який завітав до взуттєвого магазину, здійснить покупку, дорівнює в середньому 0,1. Яка ймовірність того, що із 900 покупців, що завітали до магазину, здійснять покупку від 100 до 180 покупців?
|
Варіант №2 1. Імовірність виготовлення робітником деталі відмінної якості становить 0,8. Яка ймовірність того, що серед 5 виготовлених деталей робітником відмінної якості будуть не менше ніж три деталі. Знайти найімовірніше число виготовлених робітником деталей відмінної якості й обчислити ймовірність цього числа.
2. Імовірність виходу із ладу виробу під час його випробування на надійність дорівнює 6%. Яка ймовірність того, що під час випробувань 1000 виробів із ладу вийдуть не більш як 40.
|
Варіант №3 1. Робітник обслуговує 8 верстатів-автоматів. Імовірність того, що верстат потребує уваги робітника протягом однієї години в середньому складає 0,6. Знайти ймовірність того, що за 1 годину уваги робітника потребують від 3 до 5 верстатів (ураховуючи межі). Знайти найімовірніше число m0 верстатів, які потребують уваги робітника за 1 год і обчислити ймовірність цього числа.
2. Завод відправив на базу 8000 доброякісних виробів. Імовірність пошкодження кожного виробу під час транспортування на базу становить 0,0002. Знайти ймовірність того, що серед 8000 виробів при транспортуванні буде пошкоджено не більш як 4 вироби.
|
Варіант №4 1. Садівником восени було посаджено вісім саджанців яблуні. Імовірність того, що будь-який із саджанців навесні проросте, у середньому складає 0,7. Обчислити ймовірність того, що із восьми саджанців яблуні навесні проростуть: 1) чотири саджанці; 2) Знайти найімовірніше число саджанців, які навесні проростуть, і обчислити відповідну ймовірність.
2. Завод відправив на базу 10000 доброякісних виробів. Імовірність пошкодження кожного виробу під час транспортування на базу становить 0,0002. Знайти ймовірність того, що серед 10000 виробів при транспортуванні буде пошкоджено не більш як 4 вироби.
|
Варіант №5 1. Імовірність виготовлення робітником деталі відмінної якості становить 0,8. Яка ймовірність того, що серед 9 виготовлених деталей робітником відмінної якості будуть не менше ніж шість деталей. Знайти найімовірніше число виготовлених робітником деталей відмінної якості й обчислити ймовірність цього числа.
2. Імовірність того, що покупець, який завітав до промтоварного магазину, здійснить покупку, дорівнює в середньому 0,4. Яка ймовірність того, що із 1000 покупців, що завітали до магазину, здійснять покупку від 350 до 750 покупців? |
Варіант №6 1. Робітник обслуговує 8 верстатів-автоматів. Імовірність того, що верстат потребує уваги робітника протягом однієї години в середньому складає 0,65. Знайти ймовірність того, що за 1 годину уваги робітника потребують 5 верстатів. Знайти найімовірніше число m0 верстатів, які потребують уваги робітника за 1 год і обчислити ймовірність цього числа.
2. Імовірність виходу із ладу виробу під час його випробування на надійність дорівнює 6%. Яка ймовірність того, що під час випробувань 1000 виробів із ладу вийдуть від 30 до 45 виробів.
|
Варіант №7 1. Завод виготовляє однотипні телевізори, з яких 91% вищої якості. Із партії виготовлених заводом телевізорів навмання вибирають десять. Яка ймовірність того, що серед цих телевізорів вищої якості будуть від 4 до 7 телевізорів. Знайти найімовірніше число m0 телевізорів вищої якості і обчислити ймовірність цього числа.
2. Завод відправив на базу 9000 доброякісних виробів. Імовірність пошкодження кожного виробу під час транспортування на базу становить 0,0001. Знайти ймовірність того, що серед 9000 виробів при транспортуванні буде пошкоджено від 3 до 7 виробів.
|
Варіант №8 1. Садівником восени було посаджено шість саджанців персика. Імовірність того, що будь-який із саджанців навесні проросте, у середньому складає 0,6. Обчислити ймовірність того, що із семи саджанців персика навесні проростуть: 1) не менш як чотири; 2) Знайти найімовірніше число саджанців, які навесні проростуть, і обчислити відповідну ймовірність.
2. Імовірність виявити помилки на сторінці книжки дорівнює 0,002. Яка ймовірність у результаті перевірки книжки на 2000 сторінок виявили помилку не більш як на 7 сторінках?
|
Варіант №9 1. Імовірність виготовлення робітником деталі відмінної якості становить 0,8. Яка ймовірність того, що серед 7 виготовлених деталей робітником відмінної якості будуть не менше ніж п'ять деталей. Знайти найімовірніше число виготовлених робітником деталей відмінної якості й обчислити ймовірність цього числа.
2. Імовірність того, що покупець, який завітав до магазину одягу, здійснить покупку, дорівнює в середньому 0,1. Яка ймовірність того, що із 700 покупців, що завітали до магазину, здійснять покупку від 80 до 150 покупців?
|
Варіант №10 1. Робітник обслуговує 8 верстатів-автоматів. Імовірність того, що верстат потребує уваги робітника протягом однієї години в середньому складає 0,65. Знайти ймовірність того, що за 1 годину уваги робітника потребують 5 верстатів. Знайти найімовірніше число m0 верстатів, які потребують уваги робітника за 1 год і обчислити ймовірність цього числа.
2. Імовірність виходу із ладу виробу під час його випробування на надійність дорівнює 7%. Яка ймовірність того, що під час випробувань 800 виробів із ладу вийдуть від 25 до 40 виробів. |
Варіант №11 1. На автобазі є 12 пасажирських автобусів. Імовірність того, що на маршрутну лінію вийде автобус, у середньому дорівнює 0,85. Знайти ймовірність того, що автобаза працюватиме в нормальному режимі, якщо для цього потрібно, аби на маршрутну лінію виїхало не менш як 9 автобусів. Знайти найімовірніше число m0 справних автобусів (ті, що можуть вийти на лінію) і обчислити ймовірність цього числа.
2. Частка діабетиків у певній місцевості становить у середньому 0,2%. Навмання було обстежено 4000 осіб. Яка ймовірність того, що серед них діабетиків буде від 3 до 6 осіб.
|
Варіант №12 1. Садівником восени було посаджено шість саджанців черешні. Імовірність того, що будь-який із саджанців навесні проросте, у середньому складає 0,85. Обчислити ймовірність того, що із семи саджанців черешні навесні проростуть: 1) не менш як три; 2) Знайти найімовірніше число саджанців, які навесні проростуть, і обчислити відповідну ймовірність.
2. У партії однотипних деталей стандартні становить 82%. Навмання з партії беруть 400 деталей. Яка ймовірність того, що серед них стандартних буде від 355 до 300.
|
Варіант №13 1. Імовірність виготовлення робітником деталі відмінної якості становить 0,95. Яка ймовірність того, що серед 7 виготовлених деталей робітником відмінної якості будуть не менше ніж шість деталей. Знайти найімовірніше число виготовлених робітником деталей відмінної якості й обчислити ймовірність цього числа.
2. Телефонна станція обслуговує 1000 абонентів. Імовірність того, що протягом години абонент розмовлятиме по телефону, дорівнює в середньому 0,002. Яка ймовірність того, що протягом години одночасно розмовлятимуть по телефону не більш як 5 абонентів?
|
Варіант №14 1. Робітник обслуговує 8 верстатів-автоматів. Імовірність того, що верстат потребує уваги робітника протягом однієї години в середньому складає 0,65. Знайти ймовірність того, що за 1 годину уваги робітника потребують від 3 до 7 верстатів (ураховуючи межі). Знайти найімовірніше число m0 верстатів, які потребують уваги робітника за 1 год і обчислити ймовірність цього числа.
2. Частка діабетиків у певній місцевості становить у середньому 0,3%. Навмання було обстежено 5000 осіб. Яка ймовірність того, що серед них діабетиків буде від 4 до 7 осіб.
|
Варіант №15 1. На автобазі є 15 пасажирських автобусів. Імовірність того, що на маршрутну лінію вийде автобус, у середньому дорівнює 0,75. Знайти ймовірність того, що автобаза працюватиме в нормальному режимі, якщо для цього потрібно, аби на маршрутну лінію виїхало не менш як 12 автобусів. Знайти найімовірніше число m0 справних автобусів (ті, що можуть вийти на лінію) і обчислити ймовірність цього числа.
2. У партії однотипних деталей стандартні становить 85%. Навмання з партії беруть 500 деталей. Яка ймовірність того, що серед них стандартних буде від 425 до 450. |
Варіант №16 1. Садівником восени було посаджено шість саджанців груші. Імовірність того, що будь-який із саджанців навесні проросте, у середньому складає 0,75. Обчислити ймовірність того, що із семи саджанців груші навесні проростуть: 1) не більше як три; 2) Знайти найімовірніше число саджанців, які навесні проростуть, і обчислити відповідну ймовірність.
2. Телефонна станція обслуговує 3000 абонентів. Імовірність того, що протягом години абонент розмовлятиме по телефону, дорівнює в середньому 0,002. Яка ймовірність того, що протягом години одночасно розмовлятимуть по телефону від 850 до 1250 абонентів?
|
Варіант №17 1. Імовірність виготовлення робітником деталі відмінної якості становить 0,85. Яка ймовірність того, що серед 8 виготовлених деталей робітником хоча б одна (0 шт або 1шт) буде відмінної якості? Знайти найімовірніше число виготовлених робітником деталей відмінної якості й обчислити ймовірність цього числа.
2. Частка діабетиків у певній місцевості становить у середньому 0,2%. Навмання було обстежено 4000 осіб. Яка ймовірність того, що серед них діабетиків буде не більш як 4 особи.
|
Варіант №18 1. Садівником восени було посаджено десять саджанців груші. Імовірність того, що будь-який із саджанців навесні проросте, у середньому складає 0,75. Обчислити ймовірність того, що із семи саджанців груші навесні проростуть: 1) не більше як три; 2) Знайти найімовірніше число саджанців, які навесні проростуть, і обчислити відповідну ймовірність.
2. У партії однотипних деталей стандартні становить 95%. Навмання з партії беруть 300 деталей. Яка ймовірність того, що серед них стандартних буде від 220 до 270.
|
Варіант №19 1. Імовірність виготовлення робітником деталі відмінної якості становить 0,85. Яка ймовірність того, що серед 7 виготовлених деталей робітником хоча б одна (0 шт або 1шт) буде відмінної якості? Знайти найімовірніше число виготовлених робітником деталей відмінної якості й обчислити ймовірність цього числа.
2. Імовірність виявити помилки на сторінці книжки дорівнює 0,001. Яка ймовірність у результаті перевірки книжки на 3000 сторінок виявили помилку не більш як на 10 сторінках?
|
Варіант №20 1. Робітник обслуговує 8 верстатів-автоматів. Імовірність того, що верстат потребує уваги робітника протягом однієї години в середньому складає 0,55. Знайти ймовірність того, що за 1 годину уваги робітника потребують від 2 до 5 верстатів (ураховуючи межі). Знайти найімовірніше число m0 верстатів, які потребують уваги робітника за 1 год і обчислити ймовірність цього числа.
2. У партії однотипних деталей не стандартні становить 5%. Навмання з партії беруть 400 деталей. Яка ймовірність того, що серед них не стандартних буде від 10 до 15.
|
Варіант №21 1. Імовірність виготовлення робітником деталі відмінної якості становить 0,75. Яка ймовірність того, що серед 6 виготовлених деталей робітником хоча б одна (0 шт або 1шт) буде відмінної якості? Знайти найімовірніше число виготовлених робітником деталей відмінної якості й обчислити ймовірність цього числа.
2. Телефонна станція обслуговує 8000 абонентів. Імовірність того, що протягом години абонент розмовлятиме по телефону, дорівнює в середньому 0,003. Яка ймовірність того, що протягом години одночасно розмовлятимуть по телефону не більш як 8 абонентів?
|
Варіант №22 1. Робітник обслуговує 10 верстатів-автоматів. Імовірність того, що верстат потребує уваги робітника протягом однієї години в середньому складає 0,6. Знайти ймовірність того, що за 1 годину уваги робітника потребують 4 верстати. Знайти найімовірніше число m0 верстатів, які потребують уваги робітника за 1 год і обчислити ймовірність цього числа.
2. Частка діабетиків у певній місцевості становить у середньому 0,3%. Навмання було обстежено 5000 осіб. Яка ймовірність того, що серед них діабетиків буде не більш як 5 осіб.
|
Варіант №23 1. Завод виготовляє однотипні телевізори, з яких 85% вищої якості. Із партії виготовлених заводом телевізорів навмання вибирають сім. Яка ймовірність того, що серед цих телевізорів вищої якості буде 4 шт. Знайти найімовірніше число m0 телевізорів вищої якості і обчислити ймовірність цього числа.
2. У партії однотипних деталей не стандартні становить 15%. Навмання з партії беруть 500 деталей. Яка ймовірність того, що серед них не стандартних буде від 30 до 50.
|
Варіант №24 1. Імовірність виготовлення робітником деталі відмінної якості становить 0,85. Яка ймовірність того, що серед 7 виготовлених деталей робітником хоча б одна (0 шт або 1шт) буде відмінної якості? Знайти найімовірніше число виготовлених робітником деталей відмінної якості й обчислити ймовірність цього числа.
2. Телефонна станція обслуговує 2000 абонентів. Імовірність того, що протягом години абонент розмовлятиме по телефону, дорівнює в середньому 0,002. Яка ймовірність того, що протягом години одночасно розмовлятимуть по телефону від 150 до 275 абонентів?
|
Варіант №25 1. Робітник обслуговує 9 верстатів-автоматів. Імовірність того, що верстат потребує уваги робітника протягом однієї години в середньому складає 0,65. Знайти ймовірність того, що за 1 годину уваги робітника потребують 4 верстати. Знайти найімовірніше число m0 верстатів, які потребують уваги робітника за 1 год і обчислити ймовірність цього числа.
2. Імовірність виявити помилки на сторінці книжки дорівнює 0,001. Яка ймовірність у результаті перевірки книжки на 1000 сторінок виявили помилку не більш як на 5 сторінках?
|
Варіант №26 1. Завод виготовляє однотипні телевізори, з яких 87% вищої якості. Із партії виготовлених заводом телевізорів навмання вибирають сім. Яка ймовірність того, що серед цих телевізорів вищої якості буде 5 шт. Знайти найімовірніше число m0 телевізорів вищої якості і обчислити ймовірність цього числа.
2. Телефонна станція обслуговує 5000 абонентів. Імовірність того, що протягом години абонент розмовлятиме по телефону, дорівнює в середньому 0,001. Яка ймовірність того, що протягом години одночасно розмовлятимуть по телефону від 1000 до 1500 абонентів?
|
Варіант №27 1. Імовірність виготовлення робітником деталі відмінної якості становить 0,75. Яка ймовірність того, що серед 6 виготовлених деталей робітником хоча б дві (0 шт, 1шт або 2шт) будуть відмінної якості? Знайти найімовірніше число виготовлених робітником деталей відмінної якості й обчислити ймовірність цього числа.
2. Імовірність виходу із ладу виробу під час його випробування на надійність дорівнює 0,05. Яка ймовірність того, що під час випробувань 900 виробів із ладу вийдуть не більш як 30.
|
Варіант №28 1. Робітник обслуговує 10 верстатів-автоматів. Імовірність того, що верстат потребує уваги робітника протягом однієї години в середньому складає 0,6. Знайти ймовірність того, що за 1 годину уваги робітника потребують від 4 до 6 верстатів (ураховуючи межі). Знайти найімовірніше число m0 верстатів, які потребують уваги робітника за 1 год і обчислити ймовірність цього числа.
2. Імовірність виявити помилки на сторінці книжки дорівнює 0,001. Яка ймовірність у результаті перевірки книжки на 1000 сторінок виявили помилку від 5 до 8 сторінках?
|
Варіант №29 1. Завод виготовляє однотипні телевізори, з яких 85% вищої якості. Із партії виготовлених заводом телевізорів навмання вибирають сім. Яка ймовірність того, що серед цих телевізорів вищої якості буде не менш як 4. Знайти найімовірніше число m0 телевізорів вищої якості і обчислити ймовірність цього числа.
2. Імовірність виходу із ладу виробу під час його випробування на надійність дорівнює 7%. Яка ймовірність того, що під час випробувань 800 виробів із ладу вийдуть не більш як 35.
|
Варіант №30 1. Імовірність виготовлення робітником деталі відмінної якості становить 0,75. Яка ймовірність того, що серед 8 виготовлених деталей робітником хоча б дві (0 шт, 1шт або 2шт) будуть відмінної якості? Знайти найімовірніше число виготовлених робітником деталей відмінної якості й обчислити ймовірність цього числа.
2. Завод відправив на базу 9000 доброякісних виробів. Імовірність пошкодження кожного виробу під час транспортування на базу становить 0,0001. Знайти ймовірність того, що серед 9000 виробів при транспортуванні буде пошкоджено не більш як 3 вироби. |