2.3. Определение проверочных равенств

Пользуясь таблицей опознавателей одиночных ошибок в каждом из разрядов, нетрудно определить, символы каких разрядов должны входить в каждую из проверок на четность.

Возьмем в качестве примера табл. 2.1 опознавателей для кодов, предназначенных исправлять одиночные ошибки. В принципе можно построить код, усекая эту таблицу на любом уровне. Однако оптимальными будут коды, которые среди кодов, имеющих одно и то же число проверочных символов, допускают наибольшее число информационных символов, например код (7,4) n=7, к=4.

То есть при трех проверочных разрядах опознавателя мы можем передавать четыре информационных символ. Найдем места и значения проверочных разрядов.

Предположим, что в результате первой проверки на четность для младшего разряда опознавателя будет получена единица. Очевидно, это может быть следствием ошибки в одном из разрядов, опознаватели которых в младшем разряде имеют единицу. Следовательно, первое проверочное равенство должно включать символы 1-го, 3-го, 5-го и 7-го разрядов :

Единица во втором разряде опознавателя может быть следствием ошибки в разрядах, опознаватели которых имеют единицу во втором разряде. Отсюда, второе проверочное равенство должно иметь вид :

Аналогично находим и третье равенство :

Чтобы эти равенства при отсутствии ошибок удовлетворялись при любых значениях информационных символов в кодовой комбинации, в нашем распоряжении имеется три проверочных разряда. Мы должны так выбрать номера этих разрядов, чтобы каждый из них входил только в одно из равенств. Это обеспечит однозначное определение значений символов в проверочных разрядах при кодировании. Указанному условию удовлетворяют разряды, по одному разу входящие в полученные уравнения. В нашем случае это будут первый, второй и четвертый разряды.

Таким образом, для кода (7,4), исправляющего одиночные ошибки, искомые правила построения кода, т.е. соотношения, реализуемые в процессе кодирования, принимают вид :

Введение проверочного разряда, обеспечивающего четность числа единиц во всей кодовой комбинации, позволяет построить код (8,4), способный одновременно исправлять одиночные ошибки и обнаруживать двойные.

Используя таблицу опознавателей (табл.2.3) и рассуждая аналогичным образом, можно составить проверочные равенства для любого кода, исправляющего одиночные и двойные независимые ошибки. Например, для кода (8,2). Минимальное число разрядов в кодовой комбинации должно быть менее . Находятся из уравнения . При n = 7 имеем . Однако, из табл. 2.3 для опознавателя кодовой комбинации из 7 разрядов требуется 6 разрядов. Поэтому приходится применить код (8,2). Соотношения, которые необходимо реализовать в процессе кодирования и декодирования этого кода: