Додавання більше двох когерентних хвиль.

а). Скінчене число хвиль.

Розглянемо додавання N когерентних хвиль з однаковими амплітудами із послідовним зсувом фаз на величину . Їх сума визначається за правилом багатокутника, який утворюється розміщенням початку послідуючого вектора у вершині попереднього. Вектори , як показано на малюнку, утворюють частину правильного багатокутника (число його сторін ). Результуюча амплітуда А є вектор, проведений із початку першого вектора у кінець останнього. З Мал.5 видно, що

,

де  = 2 - N, а з прямокутного трикутника ОFB бічна сторона

.

Приймаючи, що

,

одержимо величину результуючої амплітуди А у вигляді

(1)

або інтенсивність

, (2)

де І₁ ~ A₁²  інтенсивність окремої хвилі. Головні максимуми інтерференції спостерігаються в тих точках, де кути  = 0 або вони кратні 2. Для цих випадків вектори амплітуд лежать на одній прямій і модуль їх суми буде максимальний. Таким чином умова максимуму має вигляд

 =  2n, (3)

де n = 0,1,2,3,....  порядок максимумів. Амплітуда та інтенсивність коливань у головних максимумах дорівнюють

А = NA₁, I = N²I₁. (4)

І нтерференційні мінімуми (А = 0) спостерігаються в точках де

 = 2р/N, (5)

число р приймає будь-які цілі значення, крім тих, які кратні N. Між парою сусідніх мінімумів знаходиться головний або побічний максимум. При великому числі інтерферуючих хвиль інтенсивність побічного максимуму мізерно мала порівняно з інтенсивністю головного максимуму. На Мал.6 представлено графік інтенсивності інтерференції двох та трьох хвиль у залежності від .

б). Нескінчене число хвиль.

Якщо число інтерференційних хвиль N необмежено збільшувати, а їх амплітуди А₁ та зсув фази зменшувати так, щоб величини та залишались обмеженими, то векторна діаграма прийме вигляд, показаний на Мал.7. Послідовність векторів перетвориться в дугу кола А₀, кутова величина якої буде рівною . Радіус кола . Амплітуда результуючого коливання

,

або

. (6)

Умови мінімумів інтерференції можна задати рівнянням

(m = 1,2,3,...). (7)

П ри , А = А₀  центральний максимум. На Мал.8 представлена залежність відносної величини інтенсивності інтерференції від зсуву фази . З точки зору величини результуючої інтенсивності актуальним є розгляд випадків коли близьке до 0.

Дифракція світла

Явище відхилення світла від прямолінійного розповсюдження в середовищі з різко вираженими оптичними неоднорідностями називається дифракцією. До згаданих явищ відносять огинання світлом макроперешкод, проходження через отвори та інше. В результаті в геометричній тіні спостерігаються освітлені та затемнені області. Розрізнюють дифракцію сферичних хвиль – дифракція Френеля та дифракцію плоских хвиль – дифракція Фраунгофера.

§ 4. Принцип Гюйгенса-Френеля. Зони Френеля.

Розрахунки обох дифракцій грунтуються на гіпотезі Гюйгенса-Френеля, яка полягає у такому.

Згідно принципу Гюйгенса-Френеля усі точки хвильової поверхні є уявними (фіктивними) вторинними точковими джерелами когерентних коливань. Ці джерела випромінюють сферичні хвилі від генеруючого джерела, а у напрямі до нього вони взаємно компенсуються. Для знаходження положення хвильового фронту в наступний момент часу потрібно побудувати огинаючу поверхню хвильових сферичних поверхонь указаних точкових джерел.

Розрахунок інтенсивності випромінювання у деякій точці М простору, у тому числі і тоді коли ця точка знаходиться у області геометричної тіні, проводиться за принципом Френеля у такий спосіб.

а) Джерело коливань S₀ замінюється еквівалентною йому системою уявних вторинних джерел  малих ділянок dS будь - якої замкненої допоміжної хвильової поверхні S, яка охоплює джерело S₀ і не охоплює точку М, що знаходиться на відстані r від dS ;

б) амплітуда dЕ коливань, що збуджуються в точці М вторинним джерелом задається виразом

,

де  амплітуда коливань джерела , функція визначає залежність вторинного випромінювання від кута  між зовнішньою нормаллю до хвильової поверхні й напрямком від dS до М, яка монотонно зменшується від 1 при  = 0 до 0 при (вторинні джерела не випромінюють у зворотному напрямку). Результуюча амплітуда тепер може бути записана так

,

де інтегрування проводиться по усій допоміжній хвильовій поверхні.

Для спрощення розрахунку амплітуди коливань від вторинних джерел випромінювання хвильової поверхні, вона розбивається на поверхні, які називаються зонами Френеля. Специфіка зон Френеля полягає у тому, що відстань деякої зони до точки спостереження різниться від таких відстаней суміжних зон на половину довжини хвилі . Це означає, що коливання, які приходять від таких зон в точці спостереження будуть у протифазі, а в результуючій амплітуді, яка знаходиться додаванням амплітуд від зон, вони будуть з різними знаками.

Для сферичної хвилі такими зонами будуть кільцеві ділянки, що утворюються при розбитті сфери паралельними площинами, перпендикулярними до прямої, яка з'єднує точку спостереження з точковим джерелом світла. Для плоскої хвилі це будуть паралельні смуги.