§20. Элементы корреляционного анализа

Групповые средние , ,

где х_i и y_j – середины соответствующих интервалов; i = 1, 2, …, l; j = 1, 2, …, m; n_ij – частоты пар (x_i, y_j); ; .

Общие средние , ,

где – объем выборки.

Выборочные дисперсии , .

Выборочный корреляционный момент или выборочная ковариация .

Коэффициенты регрессии Y по X и X по Y , .

Линейные уравнения регрессии Y по X и X по Y , .

Коэффициент корреляции .

20.1. Распределение 100 образцов материала по процентному содержанию синтетической добавки X (%) и предельному напряжению на разрыв Y (Н/cм²) приведены в следующей таблице:

Y Х	11	16	21	26	31	36
20	2	5					7
30		6	4				10
40			7	32	5		44
50			3	10	8	1	22
60				5	10	2	17
	2	11	14	47	23	3	100

Требуется: 1) найти групповые средние и и построить эмпирические линии регрессии; 2) предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессий и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии; б) используя соответствующее уравнение регрессии, найти среднее предельное напряжение на разрыв, когда процент синтетической добавки составляет 50%, и сравнить его с групповой средней, вычисленной непосредственно по корреляционной таблице.

20.2. Распределение 100 сосен по диаметру ствола Х (см) и высоте Y (м) приведено в следующей таблице:

Y Х	10	20	30	40	50
20	9	2				11
30	6	15	9			30
40	1	9	13	3		26
50		5	14	3		22
60		1	3	5	2	11
	16	32	39	11	2	100

Требуется: 1) найти групповые средние и и построить эмпирические линии регрессии; 2) предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессий и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии; б) используя соответствующее уравнение регрессии, найти средний диаметр сосен высотой 35 м.

20.3. При исследовании корреляционной зависимости между ценой на газ Х и стоимостью акций газовых компаний Y, получены следующие данные: ; ; ; ;  = 40,5. Найти а) уравнения регрессии Y на Х и Х на Y; б) среднюю величину стоимости акции при цене на нефть х = 16,6, используя соответствующее уравнение регрессии.

20.4. Известно, что первоначальная стоимость объекта Х (млн. руб.) и годовая норма отчислений Y (%) связаны уравнениями регрессий: и . Найти средние значения величин Х и Y, а также коэффициент корреляции между этими величинами.

20.5. При исследовании корреляционной зависимости между объемом валовой продукции Y (млн. руб.) и среднесуточной численностью работающих Х (тыс. чел.) для ряда предприятий получено следующее уравнение регрессии Х на Y: . Найти уравнение регрессии Y на Х, если известно, что коэффициент корреляции между этими величинами равен 0,84, а средний объем валовой продукции предприятий составляет 39,8 млн. руб.

20.6. Распределение 100 семей по доходу Х (руб.) на члена семьи и доле расходов на питание Y (%) приведено в следующей таблице:

Y Х	40–50	50–60	60–70	70–80	80–90
100–500				2	8	10
500–900			10	16		26
900–1300			30	4	2	36
1300–1700	2	16	2			20
1700–2100	6	2				8
	8	18	42	22	10	100

Требуется: 1) найти групповые средние и построить эмпирические линии регрессии; 2) предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессий и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии; б) используя соответствующее уравнение регрессии, определить среднюю долю расходов на питание при доходе 1300 руб. на члена семьи.

20.7. При исследовании корреляционной зависимости между величинами Х и Y получены следующие данные: ; ; ; ;  = 50. Написать уравнения регрессии Y на Х и Х на Y и построить графики прямых регрессии.

20.8. При исследовании зависимости между средним баллом аттестата Х и успеваемостью первокурсников Y для ряда вузов получено следующее уравнение регрессии Y на Х: . Составить уравнение регрессии Х на Y, если известно, что коэффициент корреляции между этими величинами оказался равным , а средняя успеваемость первокурсников составила 3,5 балла.

20.9. При исследовании корреляционной зависимости между возрастом Х (лет) жителей района и числом Y обращений в поликлинику в месяц получены следующие уравнения регрессий: и . Найти: а) коэффициент корреляции между рассматриваемыми величинами; б) средний возраст и среднее число обращений в поликлинику в месяц жителя района.

ОТВЕТЫ