1.2.2. Хвильова матриця передачі чотириполюсника

Визначення матриці передачі [Т]. Матриця передачі [T] пов’язує амплітуди хвилі, що падає (а₁), та відбитої (b₁) на вході чотириполюсника з відповідними амплітудами (а₂ та b₂) на його виході (рис. 1.8):

а₁ = t₁₁b₂ + t₁₂a₂, (1.14)

b₁ = t₂₁b₂ + t₂₂a₂,

а бо в матричній формі

де

Я

Рис. 1.8

кщо в рівнянні (1.14) припустити, що а₂ = 0, ( Е_2ПАД =0), то t₁₁ = а₁/b₂ = 1/s₂₁. Отже, коефіцієнт t₁₁ – це величина, обернена до коефіцієнта передачі від першого плеча до другого; він характеризує внесені втрати.

Тому залежності модуля t₁₁ і фази argt₁₁ від частоти є величинами, оберненими до АЧХ та ФЧХ чотириполюсника. Величина t₁₁², що дорівнює відношенню потужності хвилі, що падає на вхід, до вихідної потужності, називається внесеним ослабленням чотириполюсника.

На практиці внесене ослаблення L визначають у децибелах, тобто

(1.15)

Величина t₂₂ = b₁/а₂ характеризує передачу в зворотному напрямку. Коефіцієнти t₁₂

та t₂₁ не мають чіткого фізичного змісту.

Матриця Т каскадно з’єднаних чотириполюсників. Визначимо матрицю [T] ланцюжка каскадно з’єднаних чотириполюсників, матриці [T₁], [T₂], …, [T_n] кожного з яких можна вважати заданими (рис. 1.9).

Рис. 1.9

Амплітуда хвилі, що йде від першого чотириполюсника, дорівнює амплітуді хвилі, що надходить на вхід другого чотириполюсника, а і т. д. Тому можна записати такий ланцюжок рівностей:

Продовжуючи послідовно виражати амплітуди хвиль на входах чотириполюсників через їхні матриці передачі [T₃], [T₄], …, [T_n] і амплітуди хвиль на виходах, одержимо вираз, що пов’язує амплітуди хвиль і на вході ланцюжка з амплітудами хвиль і на його виході:

(1.16)

Вираз (1.16) дає змогу дійти такого висновку: матриця передачі ланцюжка каскадно з’єднаних чотириполюсників дорівнює добутку їхніх матриць передачі: [T] = [T₁]  [T₂]  [T₃]∙ ∙ ∙[T_n].

1.2.3. Зв’язок елементів матриць передачі та розсіювання

Елементи матриці [T] можна виразити через елементи матриці [S]:

(1.17)

Для оборотного чотириполюсника s₁₂ = s₂₁ і визначник матриці [T] дорівнює одиниці:

. (1.18)

З урахуванням виразу (1.18) коефіцієнт можна записати у вигляді

використавши властивість унітарності

Аналогічно елементи матриці [S] можна виразити через елементи матриці [T]:

(1.19)

1.2.4. Хвильові матриці простих чотириполюсників та восьмиполюсників

. Наведемо приклад використання матриці [S].

Розглянемо ділянку ЛП електричною довжиною , у якої поширюється Т- хвиля. Ділянка нескінченного регулярного хвилеводу (рис.1.10. а) не відбиває хвилю, тому s₁₁ = s₂₂ = 0. Переміщення хвилі від одного входу до іншого супроводжується зміною її фази на ₀, тому .

Матриця розсіювання такого відрізка має вигляд

(1.20)

в

Рис. 1.10

Зі співвідношення (1.17) знайдемо елементи матриці [T] ділянки лінії: t₁₁= t₁₂ =

0, t₂₁ = 0, t₂₂ = , тобто . (1.21)

Тепер розглянемо реактивну провідність jВ, включену в ЛП паралельно (рис. 1.10. б). Коефіцієнти відбиття s₁₁ і s₂₂ від реактивної провідності визначимо за формулою, отриманою в теорії довгих ліній, що пов’язує коефіцієнти відбиття s₁₁ = s₂₂ від навантаження Y_н = jB + Y₀ із хвильовою провідністю лінії Y₀:

де b = B/Y₀ – нормована реактивна провідність.

Знайдемо коефіцієнт передачі s₂₁ = s₁₂ за означенням як відношення амплітуд хвилі а₂, що падає, та b₁ – тієї, що пройшла:

.

Тут використано безперервність дотичних складових поля з обох боків тонкої неоднорідності  рівність амплітуди хвилі, що пройшла, сумі амплітуд хвилі, що падає, та відбитої (b₁= а₂+ b₂). Як і в попередньому випадку, елементи матриці [T] визначимо зі співвідношення (1.17):

(1.22)

З огляду на рівність (1.17) унесене ослаблення можна подати у вигляді

.

М атрицю (1.22) іноді записують у параметричній формі, вводячи

такий параметр , що

(1.22.а)

Нехай вихід чотириполюсника, матриця [S] якого відома, навантажений на довільне

навантаження, яке має комплексний коефіцієнт відбиття Г (рис. 1.10.в).

З найдемо коефіцієнт відбиття від входу чотириполюсника s₁₁ із урахуванням впливу цього навантаження. Для чотириполюсника правдиві рівняння

У випадку неузгодженого навантаження а₂ = b₂Г  0, і з першого рівняння випливає, що

(1.23)

Із другого рівняння з урахуванням того, що b₂ = a₂/Г, маємо

. (1.24)

Підставимо праву частину співвідношення (1.24) у вираз (1.23) і одержимо

. (1.25)

Матриці стику двох хвилеводів, яки мають однаковий розмір широкої стінки а, але

різні вузькі стінки, наприклад b₂ > b₁ (рис.1.11), і в разі поширення в обох хвилеводах тільки основної хвилі, можна виразити у наступному виду

Рис. 1.11

; , (1.26)

де - відношення хвильових опірив.

Матриця направленого восьмиполюсника (рис. 1.12) має вид:

, (1.27)

Рис. 1.12

яка правдива для направлених відгалужувачів, що ділять вхідну потужність між йох вихідними плечима в заданому співвідношенні.

Т рьох децибельним направленим відгалужувачем або мостом називають чотирьохплечивий вузол, якій поділяєть потужність хвилі, що надходить до кожного з входів моста, нарівно між протилежними плечима. Вони поділяються на сінфазно-протифазні та квадратурні і йох матриці відрізняються. Наприклад, аналізуючи матрицю розсіювання подвійного хвилевідного трійника (рис. 1.13), можна виявити важливі його властивості, які важко пояснити міркуваннями якісного характеру.

Сформулюємо ці властивості у вигляді теореми:

якщо подвійний трійник узгоджений з боку Е- та H-пліч (s₃₃ = s₄₄ = 0), то:

 він узгоджений і з боку бічних пліч (s₁₁ = s₂₂ = 0);

 зв’язку між бічними плечима немає (s₁₂ = s₂₁ = 0);



Рис. 1.13

потужність, що підводиться до одного з бічних пліч, поділяється

н арівно між Е- та H-плечима

Для доведення перетворимо матрицю розсіювання подвійного трійника з урахуванням умов цієї теореми, взаємності пристрою – симетрії матриці [S] щодо головної діагоналі, а

також властивостей трійника, установлених у результаті якісного його розгляду (s₃₄ = s₄₃= 0, s₂₃ = s₃₂ за властивістю взаємності та s₂₃ = s₁₃ через протифазність збудження бічних пліч у разі живлення подвійного трійника з боку Е-плеча). Отже,

(1.28)

Запишемо суми парних добутків коефіцієнтів стовпців, поєднаних у правій матриці (1.28) стрілками, відповідно до властивостей унітарності:

звідки випливає

а це може бути тільки для

. (1.29)

З огляду на співвідношення (1.29), симетрію та взаємність розглянутого пристрою

Тепер розглянемо суми квадратів модулів коефіцієнтів двох останніх рядків правої матриці (1.28). За властивістю унітарності,

звідси випливає

що й потрібно було довести.

На підставі викладеного, матрицю [S] подвійного трійника за належного вибору відлікових перерізів на його входах можна подати у вигляді:

(1.30)

Аналогічно матриця [S] квадратурного моста має від:

(1.31)