3. Момент інерції. Теорема Гюйгенса – Штейнера.
Розглянемо момент імпульсу, прикладений до точки відносно нерухомої точки О.
Врахуємо,
що
,
а при обертанні навколо точки О з
кутовою швидкістю ω
При обертанні по
колу
внаслідок перпендикулярності аекторів.
Отже
Продиференціюємо
за часом і врахуємо, що
(1)
Добуток маси точки на квадрат її відстані до центру обертання називається моментом інерції точки :
Момент інерції –
величина скалярна
Моментом інерції тіла називають суму моментів інерції всіх його точок
У випадку рівномірного розподілу маси в суцільному тілі
де
- густина тіла.
Момент інерції залежить не тільки від маси тіла, а й від її розподілу у просторі. Розраховують моменти інерції тіл певної геометричної форми за допомогою інтегрального числення.
Моменти інерції деяких однорідних тіл:
Тіло |
Вісь, відносно якої визначається момент інерції |
Момент інерції |
Матеріальна точка з масою m |
Проходить на відстані r від точки |
|
Тонкий стрижень масою m та довжиною l |
Перпендикулярна до стрижня і проходить через його середину |
|
Тонкий стрижень масою m та довжиною |
Перпендикулярна до стрижня і проходить через його кінець |
|
Тонка трубка, обруч або кільце масою m та радіусом R |
Співпадає з віссю трубки, проходить через центр тяжіння перпендикулярно основі. |
|
Круглий однорідний диск або циліндр масою m та радіусом R |
Проходить через центр тяжіння перпендикулярно основі. |
|
Однорідна куля масою m та радіусом R |
Проходить через центр кулі |
|
Круглий циліндр циліндр масою m, довжиною l та радіусом R |
Перпендикулярна до осі циліндра і проходить через його середину |
|
Порожнистий товстостінний циліндр масою m та радіусами циліндричних поверхонь R1 та R2 |
Співпадає з геометричною віссю циліндра |
|
Куб масою m та довжиною ребра a
|
Проходить через центр куба перпендикулярно його грані |
|
Прямокутний паралелепіпед з розмірами 2a; 2b; 2c
|
Проходить через центр паралельно ребру 2а |
|
Тонкий диск масою m та радіусом R, набагато більшим за товщину |
Співпадає з діаметром диску |
|
Якщо
тіло здійснює обертання відносно осі,
що не проходить через центр мас, для
розрахунку моменту інерції користуються
теоремою Гюйгенса – Штейнера:
Момент інерції відносно довільної осі дорівнює сумі момента інерції відносно осі, яка паралельна даній і проходить через центр мас тіла, і добутку маси тіла на квадрат відстані між осями
