Расчет структуры переменных электромагнитных полей в волноводе.

1.Общее задание.

Для заданного типа волны с начальной амплитудой поля

=5кВ/см, распространяющейся в прямоугольном волноводе сечением _, получить аналитические выражения продольной и поперечных компонент полей в комплексной форме записи и для мгновенных значений. Для численных параметров задачи построить эпюры полей по осям x, y, z, а также картину распределения полей в плоскостях xy и zx. Рассчитать заданные характеристики полей и построить их зависимости от частоты. Во всех случаях считаем, что параметр =1.

2.Параметры задачи

Волна H₂₅ a  b = 110 x 55 мм; l = 21 мм, диэлектрическая проницаемость e = 1 Рассчитать .

3.Решение

Оси координат расположим в соответствии рисунку 2.1.

Полость волновода заполнена диэлектриком, электрическая проницаемость которого e. Длина волновода в направлении оси z не ограничена. Процесс распространения электромагнитных волн в полости прямоугольного волновода рассматриваем, полагая, что стенки волновода выполнены из сверхпроводящего материала

(g = ). При этом условии напряженность электрического поля на стенках волновода будет равна нулю (плотность тока на стенках волновода d = gE есть величина конечная, поэтому при g®¥, E®0

Электромагнитное поле в волноводе описывается волновым уравнением:

(2.1)

где – круговая частота, – абсолютные электрическая и магнитная проницаемости.

Для заданого типа волны выполняется следующее условие:

E_z = 0, H_z  0, m = 2, n = 4.

Распространяющиеся в волноводе электромагнитные волны являются волнами, бегущими вдоль оси волновода (оси z) и стоячими в двух остальных направлениях.

Тот факт, что волны являются бегущими вдоль оси z, в формально математическом отношении находит свое выражение в том, что каждая из составляющих волн, при записи ее имеет множитель exp(-kp*z), где kp – коэффициент распространения.

Если подставить в уравнение (2.1), то последнее разобьется на три уравнения для проекций. Для проекции на ось z будем иметь следующее уравнение:

(2.3)

Упростим уравнение (2.3) путем подстановки решения вида

(2.4)

справедливого для гармонических процессов в волноводах

– продольный коэффициент распространения в волноводе, – длины волны в волноводе. Множитель выражает собой то обстоятельство, что вдоль оси z движется бегущая волна.

Подставляем (2.4) в (2.3):

(2.3¢)

Обозначим . (2.5)

и поделим (2.3¢) на . Получаем

(2.6)

Воспользуемся методом разделения переменных и искомую функцию представим в виде

(2.7)

и подставим в (2.6) , получаем:

Разделяя это уравнение на XY получим:

Сумма двух функций и , из которых одна является функцией только x, а другая – функцией только y, может равняться постоянному числу – только в том случае, если каждая из этих функций есть постоянное число. Перейдем от частных производных к простым и положим

(2.6а)

(2.6б)

Здесь p, q есть некоторые постоянные числа. Решением двух последних уравнений являются функции

Здесь есть постоянные интегрирования, которые найдем из граничных условий. Таким образом, в соответствии с (2.4),

(2.7)

Здесь комплексная амплитуда

Для определения значений p, q, j, обратимся к первому и второму уравнениям Максвелла, записанным через проекции напряженностей на оси координат:

(2.8)

(2.11)

(2.9)

(2.12)

(2.10)

(2.13)

В силу того, что для H-волны , то уравнения (2.10), (2.11), (2.12) можно упростить, убрав выражения, содержащие .

Поскольку волны являются бегущими вдоль оси z, то

из уравнений(2.11) и (2.12) следует, что

На внутренних поверхностях стенок волновода напряженность электрического поля равна нулю.

Следовательно,