15. Определение показательной функции вещественной переменной. Непрерывность показательной функции.

Определение: Показательная функция на множестве действительных чисел: Функция вида а^X, а>0, а1 xR.

Докажем что .   Доказательство. Так как для любого аргумента можно найти два последовательных натуральных числа, что будут выполнены условия n < x < n + 1. По свойству неравенств имеем

.

При а > 1 показательная функция является монотонно возрастающей, поэтому

.

Так как , то по теореме о пределе промежуточной функции справедливо соотношение

Далее имеем, , что и требовалось доказать.

16. Св-ва показательной функции

Свойства: x,yR.

1) a^X * a^Y = a^X+Y

x_Nx, y_Ny => a^Xn * a^Yn = a^Xn+Yn => Lim a^Xn * a^Yn = Lim a^Xn+Yn => Lim a^Xn * lim a^Yn = Lim a^Xn+Yn => a^X * a^Y = a^X+Y

2) a^X / a^Y = a^X-Y

3) (a^X)^Y=a^X*Y

x_Nx, y_Ky => (a^Xn)^Yk = a^Xn*Yk => (n) (a^X)^Yk=a^X*Yk =>(k) (a^X)^Y=a^X*Y

4) x<y => a^X<a^Y (a>1) - монотонность.

x<x’ x,x’R; x_Nx x’_Nx’ x_N,x’_NQ => x_N<x’_N => a^Xn < a^X’n => (n) a^Xa^X’- монотонна

x-x`>q>0 => a^X-X’ a^Q>1 => a^X-X’1 => aX<a^X’ - строго монотонна

5) при x n0 a^X 1

Т.к. Lim a^1/N=1 (n), очевидно, что и Lim a^-1/N=Lim1/a^1/N=1 (n). Поэтому Е>0 n₀: n>n₀ 1-E<a^-1/N<a^1/N<1+E, а>1. Если теперь |x|<1/n₀, то

a^-1/N<a^X<a^1/N => 1-E<a^X<1+E. => Lim a^X=1 (при x0)

6) a^X - непрерывна

Lim a^X=1 (n из (5) - это означает непрерывность a^X в точке 0 => a^X-a^Xo= a^Xo(a^X-Xo - 1) при хx₀ x-x₀ n0 => a^X-x₀ n1 => при хx₀ lim(a^X - a^Xo)=

Lim a^Xo*Lim(a^X-Xo - 1) = x₀ * 0 = 0 => a^X - непрерывна

18.Последовательность (1+1/n)ⁿ и ее предел.

x_N= ; y_N= ; z_N=y_N +

x_N монотонно возрастает: докажем:

x_N=(1+1/n)ⁿ=1+ n/1!*1/n + n*(n-1)/2!*1/n² +... < 1 + 1/1! + 1/2!+...+1/n! = y_N => y_N<z_N<3

Воспользуемся неравенством Бернулли (1+x)ⁿ1+nx, x>-1) (доказывается по индукции):

x=1/n => (1+1/n)ⁿ1+n/n=2

Получили: 2 x_N<3 => x_N - ограничена, учитывая что x_N - монотонно возрастает => x_N - сходится и ее пределом является число е.

20.Точки разрыва функций. Классификация точек разрыва

Если функция f (x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f (x) имеет разрыв в этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны при x = a, а две имеют разрыв.

Непрерывна при x = a.		Имеет разрыв при x = a.
Непрерывна при x = a.		Имеет разрыв при x = a.
Рисунок 1.

Классификация точек разрыва функции

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке

Существуют левосторонний предел и правосторонний предел ;

Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие два случая:

Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции.

Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.