2.4. Спектральне зображення сигналів

Розглянемо докладніше процес дискретизації одновимірного сигналу. Для цього визначимо поняття спектра сигналу. Нехай зміна сигнального параметра від часу має вигляд косинусоїди:

,

де – амплітуда сигнального параметра;

– кругова частота;

– фаза;

– уявна одиниця.

Зазначену функцію можна представити як результат підсумовування обертання в протилежному напрямку двох векторів величиною із частотою й розташованими в початковий момент часу під кутами й до осі ординат (рис. 6, а), або як дійсну частину вектора величиною , що обертається за годинниковою стрілкою з тією ж частотою , і який розташовується в початковий момент часу під кутом до осі ординат (рис. 6, б).

а) б) в)

Рис. 6. Подання гармонійного сигналу:

А) обертовою парою векторів; б) обертовим вектором; в) графіком залежності

Якщо відкладати по осі абсцис величину , а по осі ординат – величину, пропорційну амплітуді сигналу на цій частоті, то частотний спектр гармонійного сигналу може бути зображений таким чином (рис. 7):

a) б)

Рис. 7. Спектр гармонійного сигналу

А) однобічний (несиметричний); б) двосторонній (симетричний)

Математично однобічні й двосторонні амплітудні спектри гармонійного сигналу можуть бути виражені відповідно у вигляді:

;

,

де – дельта-функція Дірака, яка визначається формулою:

Розглянемо періодичний сигнал, що задовольняє умови:

.

Зазначений сигнал може бути представлений у вигляді симетричного спектра додатних та від’ємних частот:

, де .

Амплітуда -й гармоніки такого сигналу має вигляд:

.

Симетричний амплітудний спектр такого сигналу може бути представлений у вигляді:

.

Як приклад, визначимо амплітудний спектр сигналу , який представляє собою нескінченну послідовність прямокутних імпульсів, наведену на рис. 8.

Рис. 8. Нескінченна послідовність прямокутних імпульсів

Зазначений сигнал виражається залежністю:

Амплітуди гармонік симетричного амплітудного спектра такого сигналу визначаються наступним чином:

.

Тут застосовано загальноприйняте позначення для функції .

Таким чином, прямокутні імпульси, що періодично повторюються, можуть бути представлені у вигляді:

.

Спектральна щільність такого сигналу виражається формулою:

.

Вигляд спектральної щільності наведений на рис. 9.

Рис. 9. Спектр періодичної послідовності прямокутних імпульсів

Будемо розглядати сигнал, що складається з імпульсів нескінченно великої амплітуди й малої тривалості:

.

Очевидно, що спектр такого сигналу може бути поданий у вигляді:

.

2.5. Дискретизація сигналів з неперервним часом

Часто дискретні сигнали виходять із аналогових сигналів за допомогою періодичної дискретизації.

Розглянемо аналоговий сигнал , що має представлення Фур'є:

.

(2.1)

.

(2.2)

Кажуть, що послідовність зі значеннями отримана з періодичною дискретизацією, а називається періодом дискретизації. Визначимо, в якому смислі представляє вихідний сигнал з перетворенням Фур’є послідовності . Це представлення має вигляд:

.

(2.3)

Перетворення Фур’є в дискретному часі також дає подання:

.

(2.4)

Заміною (2.3) на суму інтегралів за інтервалами довжиною можна одержати (2.5):

, .

(2.5)

Із співвідношень (2.5) і (2.3) стає зрозумілим зв'язок між перетворенням Фур'є в неперервному часі й перетворенням Фур'є послідовності, отриманої за допомогою дискретизації.

Якщо період дискретизації занадто великий, варіанти спектра , які були зрушені, перекриваються. У цьому випадку верхні частоти відображаються в більш низькі частоти (рис. 10).

Рис. 10. Аналіз спектральних властивостей сигналу

На нижній частині рисунку спектральні властивості вихідного сигналу тиражовані нескінченне число разів, тому можна чекати, що може бути відновлений за вибірками за допомогою підходящої інтерполяційної формули. Звідси ясно, що найменша частота дискретизації повинна задовольняти нерівність . Ця частота дискретизації часто називається частотою Найквіста.