Примеры

Пример 2.1

Записать фразы в виде формул логики предикатов, указав области определения используемых предикатов:

а) если х делится на у и у делится на z, то х делится на z;

б) х – простое число.

Решение

а) Разбивая фразу на простые предложения, видим, что используется только одно свойство двух объектов, поэтому введем предикат = « делится на «. Речь идет, очевидно, о делимости нацело, поэтому областью определения предиката будет множество целых чисел: .

Структура всей фразы описывается конструкцией «если..., то...», значит, самой внешней (последней) связкой нашей формулы будет импликация. Посылка этой импликации описывается конъюнкцией простых предложений, поэтому итоговая формула имеет вид:

.

б) Самый простой подход: ввести предикат = « – простое число», который и описывает всю фразу.

Но математические термины должны быть определены однозначно (что такое «простое» число, которое записывается одной цифрой? или которое записано с помощью повторения одной цифры? или которое можно легко запомнить или записать?), поэтому точный смысл этой фразы может быть воспроизведен с помощью строгого определения. То есть « делится только на 1 и на себя» или, еще точнее, «либо , либо и если делится на любое , то, или , или «.

В последней фразе использован предикат делимости (см. пункт а), предикат равенства = « « и квантор всеобщности. Поскольку понятие простого числа обычно вводят только для натуральных чисел, то . Формула, описывающая последнюю фразу, имеет вид:

.

Пример 2.2

Указать свободные и связанные вхождения переменных в формулы:

а) ;

б) ;

в) .

Решение

Проанализируем область действия каждого квантора, отмечая связанные вхождения общей прямой с засечками снизу, а свободные вхождения переменных стрелочкой сверху. Отметим, что в третьей формуле F и G – функциональные символы (в теориях первого порядка аргументом предиката не может выступать другой предикат).

 

а) ;

 

б) ;



в) .

Пример 2.3

Доказать тождественную истинность формул:

а) ;

б) .

Решение

Будем преобразовывать бескванторную часть формул, используя основные логические законы.

а) . Значит, исходная формула тождественно истинна.

б)

.

Значит, исходная формула тождественно истинна.

Пример 2.4

Доказать тождественную ложность формул:

а) ;

б) .

Решение

Будем преобразовывать бескванторную часть формул, используя основные логические законы.

а) .

Значит, исходная формула тождественно ложна.

б)

.

Значит, исходная формула тождественно ложна.

Задачи

2.1. Записать фразы в виде формул логики предикатов, указав области определения используемых предикатов:

а) «Если произведение двух чисел делится на простое число, то на него делится хотя бы один из сомножителей»;

б) «Через всякую точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, перпендикулярную данной»;

в) «Через каждые две точки можно провести прямую, причем, если эти точки различны, то такая прямая единственна»;

г) «Когда у некоего деятеля денег в избытке, он может воспевать что угодно, в том числе и отсутствие денег»;

д) «Всякий кулик свое болото хвалит, а чужое хает».

2.2. Пусть – одноместный, – двухместный, – трехместный функциональные символы. Являются ли термами следующие слова:

а) ;

б) ;

в) ?

2.3. Пусть , , – те же, что и в задаче 2.2, – одноместный, – трехместный предикатные символы. Являются ли формулами следующие слова:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ?

2.4. Выписать все подформулы формулы:

а) ;

б) .

2.5.

а) Найти такие два замещения предикатного символа конкретным предикатом в формуле , чтобы при одном замещении получилось истинное предложение, при другом – ложное.

б) То же для формулы .

в) То же для формулы .

2.6. Доказать тождественную ложность формул:

а) ;

б) .

2.7. Доказать, что:

а) ;

б) .

2.2. Приведение формул к предваренной нормальной форме (ПНФ)

Сводка теории

Определение

Предваренной (или пренексной) формулой называется формула вида , где Q_i суть кванторы, а формула A (называемая матрицей предваренной формулы) уже кванторов не содержит.

Если и B – предваренная формула, то B называют предваренной (нормальной) формой (ПНФ) формулы A.

В частности, не исключается и случай n = 0, т.е. бескванторная формула также считается предваренной.

Теорема 2.1

Для всякой формулы существует ПНФ.

Доказательство. С помощью основных логических законов устраняем в формуле все знаки логических операций, кроме (если таковые имеются).

К полученной формуле последовательно применяем в произвольном возможном порядке преобразования двух типов: А и В.

Преобразование типа А. Находим в формуле некоторую часть (подформулу) Ф, имеющую вид , или , или , или , где F, G(x) – какие-то формулы и G(x) содержит свободную переменную x. Пусть для определенности (в остальных случаях все делается точно так же).

Преобразуем Ф следующим образом: проверяем, содержит ли F переменную x, и если нет, то замещаем Ф на (соотношение (III.1)), если да, то заменяем все вхождения x в вхождениями какой-либо новой переменной, скажем, t, не встречающейся в нашей «боль-шой» формуле (соотношение (IV.1)), и затем заменяем на . Таким же образом поступаем с подформулами остальных трех видов (это возможно ввиду коммутативности конъюнкции и дизъюнкции).

Преобразование типа В. Находим в формуле некоторую подформулу, имеющую вид (или ), где G(x) – формула со свободной переменной x, и заменяем ее на (соответственно на ) по соотношениям (II.1), (II.2).

Применяя преобразования типов А и В, мы шаг за шагом «вытаскиваем наружу» все кванторы и, в конце концов, приходим к формуле, в которой ни один квантор не стоит внутри конъюнкции или дизъюнкции, или вслед за отрицанием. Но в такой формуле квантор может стоять только либо вслед за другим квантором, либо в самом начале формулы, т.е. получена ПНФ для исходной формулы.