Экзаменационные задачи по курсу "Квантовая теория".(минимум)
Задача 1. Найти оператор , если
а) , ; , ;
б) , ; , .
Задача 2. Найти , если - произведение эрмитовых операторов и
В
сферических координатах
-
представления найти собственную функцию
оператора
.
Задача 3. В - представлении (одномерная система) решить уравнение для оператора в случае частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме, ширины .
Задача 4. Рассчитать коммутатор .
Решения задач по курсу "Квантовая теория"
[Задача 1.]Найти оператор , если
а) , ; , ;
б) , ; , .
Решение.
Подставляя явный вид
в правую часть
и проводя интегрирование по частям,
получим
а)
,
б)
,
.
Здесь
использовано обращение функций
и
в нуль на бесконечности в случае (а) и
условие периодичности функции
и
в случае (б). В обоих случаях оператор
не совпадает с оператором
.
Задача 2. Показать, что произвольный линейный оператор может быть представлен в виде
; , .
Решение. Легко видеть, что справедливо разложение на сумму
двух операторов, первый из которых является эрмитовым:
,
,
а второй – антиэрмитовым:
.
С их помощью будем иметь
;
,
;
,
.
Всякая линейная комбинация эрмитовых операторов с вещественными коэффициентами есть Эрмитов оператор. Произведение двух эрмитовых операторов не обязательно эрмитово.
[Задача 3.] Найти , если - произведение эрмитовых операторов и
Решение. Из определения имеем
;
,
/
Отсюда с учетом эрмитовости и найдем
.
Легко
видеть, что в общем случае
.
Задача 4. Решить уравнение (7.3) для оператора
,
Решение. Из решения задачи 3(б) и равенств
найдем
,
т.е. рассматриваемый оператор Эрмитов, а его собственные значения вещественны. Уравнение (7.3) примет вид
.
Решая его, найдем
.
Из условия периодичности (см. задачу 3(б))
вытекает равенство
,
из которого получаем ограничение
;
Из
дискретности и невырожденности спектра
следует, что после нормировки (8.4) функции
будут обладать свойством (8.3).
Запишем условие нормировки (8.4) в виде
В общем случае постоянный множитель есть комплексное число, однако ввиду всегда допустимого введения произвольного фазового множителя
, 
будем
предполагать вещественность константы
.
Это дает
Окончательно запишем
;
Задача 9. Для стационарного состояния вида
описывающего в одномерном случае частицу в бесконечно глубокой потенциальной яме ширины , рассчитать средние значения величин, соответствующих операторам:
а)
б)
Решение.
а) По определению
,
запишем
Расчет числителя (12.3) дает
где использованы соотношения
Аналогичным образом для знаменателя (12.3) получим
Следовательно,
для
будем иметь
б) Учитывая свойство (7.2) и определение (12.2), запишем
.
Расчет числителя (12.4) дает
таким
образом, для
будем иметь
[Задача 6.] В - представлении (одномерная система) решить уравнение (7.3) для оператора в случае частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме, ширины .
Решение. В случае бесконечно глубокой ямы по определению имеем
Интересующее
нас решение ищем на отрезке
Поскольку
в точках
и
потенциальная энергия частицы обращается
в бесконечность, вероятность преодоления
бесконечного барьера и попадания за
пределы области (17.2) равна нулю. Оказавшись
в области (17.2), частица все время будет
находиться в ней. Из формул
и
следуют соотношения
где
-
волновая функция
,
удовлетворяющая стационарному уравнению
Шредингера
совпадающему
с уравнением (13.1) или (13.2) (в зависимости
от характера спектра), т.е. функция
,
удовлетворяющая (17.5), есть собственная
функция
оператора
,
соответствующая собственному значению
.
Из сказанного вытекают граничные условия
,
накладываемые на решение уравнения
(17.5).
Таким образом, приходим к задаче
Отсюда следует:
Положительность
собственного значения
оператора
вытекает из положительности
и
.
Решение уравнения (17.7) представимо в
виде суперпозиции двух элементарных
состояний, которые на языке
(17.3) интерпретируются как волны де Броля,
распространяющиеся в противоположных
направлениях оси
:
Подстановка (17.8) в граничные условия (17.6) приводит к системе однородных уравнений
для
неизвестных коэффициентов
.
Критерий существования тривиального
решения этой системы
дает условие квантования
собственного значения (17.5). Это означает, что обладает дискретным спектром, а уравнение (17.5) эквивалентно (7.3). Вводя согласно (17.9) обозначения
где
-
пока неизвестная вещественная (в силу
наличия у
произвольного фазового множителя
(10.1) это всегда возможно) константа, для
функции (17.8) будем иметь
Поскольку собственные функции оператора с дискретным спектром квадратично интегрируемы, условие нормировки имеет вид
Отсюда с учетом решения задачи 12 находим
Подставляя найденное значение константы в (17.10), запишем решение задачи в окончательной форме
[Задача
7.] Рассчитать коммутатор
.
Решение.
Для нахождения явного вида оператора
необходимо рассмотреть результат его
действия на произвольную функцию
.
Используя (13.6), (14.2) и определение
, запишем
.
Задача 8. Найти коммутатор .
Решение.
Используя (19.2) и вид
в
-
представлении
,
запишем
.