4.2. Исследовать и решить системы линейных однородных уравнений

Пусть дана система линейных однородных уравнений

Однородная система линейных уравнений всегда совместна , так как она всегда имеет нулевое (тривиальное) решение .

Поэтому при решении однородных систем главным является вопрос о наличии у них ненулевых решений. Ответ на него дает следующее утверждение, вытекающее из теоремы Кронекера-Капелли:

Теорема: Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основной матрицы был меньше числа n неизвестных, т.е. .

Отсюда непосредственно следуют два практических вывода:

1. Если в однородной системе число неизвестных больше числа уравнений, то система, помимо нулевого, имеет еще и ненулевое решение.

2. Для того чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю, т.е. .

Примеры выполнения заданий

1) Дано:

Решение: Найдем ранг матрицы системы

Так как получили три линейно независимые строки, то ранг матрицы системы равен трем и меньше числа неизвестных. Значит данная система имеет и ненулевое решение. Заданная система эквивалентна следующей:

Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных , , отличен от нуля.

.

Поэтому переменные , , возьмем за базисные, а переменную объявим свободной и перенесем ее в правую часть уравнения

Теперь полученную систему нетрудно решить по формулам Крамера или методом Гаусса.

Решим систему методом Крамера

.

Тогда

;

;

.

Заданная система имеет общее решение:

Придавая различные числовые значения, можно найти бесчисленное множество частных решений заданной системы.

Например, пусть , тогда частным решением будет

Пусть теперь , частное решение будет иметь вид

Ответ:

– общее решение системы.

Замечание. За базисные переменные в данном примере можно было взять , , .

2) Дано:

Решение: Система имеет число уравнений и число переменных, равное трем. Вычислим определитель системы

Так как определитель системы отличен от нуля, то делаем вывод – система имеет единственное нулевое решение, т.е. .

Ответ:

3) Дано:

Решение: Так как в этой системе число неизвестных больше числа уравнений, то система имеет решения, отличные от нулевого. Найдем ранг матрицы системы:

Линейными преобразованиями строк матрица системы сведена к ступенчатой матрице, содержащей две ненулевые строки. Значит ранг матрицы системы равен двум и линейно независимыми являются только два уравнения системы.

Заданная система эквивалентна следующей:

Найдем какой-нибудь минор, отличный от нуля. Например, минор, составленный из коэффициентов при неизвестных и , отличен от нуля:

.

Поэтому переменные и возьмем за базисные, а в качестве свободных будут тогда переменные , , . Перенесем их в правую часть уравнений системы, получим:

Тогда

Запишем общее решение системы

Пусть , подставим в общее решение и получим частное

Подставляя его в заданную систему, легко убеждаемся, что оно ей удовлетворяет:

Ответ: общее решение системы

Вставить недостающие цифры или слова

1) Решить систему линейных уравнений

Решение: Система линейных уравнений является (однородной/неоднородной). Составим _______________ матрицу системы и найдем ранги матриц системы путем сведения их к ступенчатому виду:

Отсюда видно, что как матрица А, так и расширенная матрица имеют одинаковый ранг, равный ________. Делаем вывод, что заданная система (совместна/несовместна). Так как ранг равен _______, а число уравнений равно __________, то делаем вывод, что только ______ уравнения системы линейно независимы.

Заданная систему эквивалентна следующей

Найдем какой-нибудь минор, составленный из коэффициентов при неизвестных, отличный от нуля.

Например,

.

Тогда переменные ___ и ___ будут базисными, а остальные ___ и ___ – свободными, перенесем свободные переменные в правую часть уравнений. Получим систему

Из второго уравнения системы выразим _____ и подставим в первое уравнение. Получим

_______________.

Общее решение системы будет иметь вид

Найдем какое-нибудь частное решение. Пусть _____, _____, тогда

Для самостоятельного решения

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.