Уравнения

или

называются характеристическими уравнениями.

Задача Коши. Пусть - пространственная кривая, заданная в параметрической форме , а - проекция кривой на плоскость . Найти решение уравнения (4), принимающее заданные значения в точках кривой .

Условия существования решение задачи Коши являются содержанием следующей теоремы.

Теорема. Если всюду на кривой , то задача Коши для уравнения (4) имеет одно и только одно решение. Если на , то для того, чтобы задача Коши имела решение необходимо, чтобы кривая была характеристикой уравнений (4). В этом случае задача Коши имеет бесконечно много решений.

Л е к ц и и 3 - 4.

Т е м а. Классификация уравнений с частными производными второго порядка. Преобразование уравнений. Уравнения характеристик и общие интегралы. Канонический вид гиперболических, параболических и эллиптических уравнений

Общий вид уравнений с частными производными второго порядка можно записать в виде соотношений между независимыми переменными, искомой функцией и ее частными производными первого и второго порядков:

.

Очень часто эти уравнения являются линейными относительно старших производных – производных второго порядка, то есть, имеют вид:

где коэффициенты при старших производных являются функциями только независимых переменных . Если коэффициенты зависят не только от , а являются, подобно F, функциями , то такое уравнение называется квазилинейным. Если функция линейна относительно аргументов , то уравнение называется линейным. Линейные уравнения имеют вид:

, (1)

где коэффициенты , c являются функциями только независимых переменных . Если , то уравнение (1) называется линейным однородным, в противном случае - неоднородным. Если коэффициенты , c постоянны, уравнение (1) называется линейным уравнением с постоянными коэффициентами.

Все многообразие уравнений линейных относительно старших производных может быть разделено на три класса (типа). В каждом классе есть простейшие уравнения, которые называют каноническими. Решения уравнений одного и того же типа (класса) имеют много общих свойств.

Принадлежность уравнения к тому или иному классу (типу) – классификация уравнений – определяется коэффициентами при старших производных. Мы проведем классификацию прежде всего для уравнений, в которых искомая функция u зависит лишь от двух переменных : u = u(x,y). В этом случае уравнения, линейные относительно старших производных, можно записать в виде:

, (2)

где являются функциями x и y. А линейные уравнения – в виде:

, (3)

где , - функции только от x и y. Любое такое уравнение (2) и (3) с помощью замены независимых переменных может быть приведено к более простому – каноническому виду.

При помощи замены переменных

, , (4)

где , - дифференцируемые функции, преобразуем исходные уравнения к наиболее простому виду. Вычислим частные производные

, ,

, (5)

,

.

Подставляя значения производных из (5) в уравнение (2) , будем иметь

, (5а)

где

,

, (6)

.

Заметим, что если уравнение линейно, то

,

где

,

.

Непосредственной проверкой устанавливаем справедливость тождества

. (7)

Обозначим через - дискриминант исходного уравнения в частных производных второго порядка. Из этого тождества следует, что знаки дискриминанта исходного и преобразованного уравнения одинаковые.

Теперь мы можем принять следующую классификацию уравнений вида (2).

Если в некоторой области D дискриминант положителен, , то уравнение (2) называется гиперболическим в D (гиперболического типа в D).

Если во всех точках области D, то уравнение (2) называется параболическим в D (параболического типа в D).

Если в области D, то уравнение (2) называется эллиптическим в D (эллиптического типа в D).

Из тождества (7) следует, что при замене независимых переменных по формулам (4) тип уравнения (2) не изменяется.

Приведем уравнение (2) к каноническому виду. Для каждого типа уравнения существует своя каноническая форма.