Основные свойства гармонических функций

Функция, непрерывная со своими производными до второго порядка в некотором объеме и удовлетворяющая там уравнению Лапласа, называется гармонической функцией.

1. Рассмотрим функцию U, гармоническую в ограниченной области D с поверхностью S. Считая, что U непрерывна вместе с производными второго порядка вплоть до S , и применяя вторую формулу Грина (2) к этой функции U и к гармонической функции V = 1, получим, в силу V = (1) = 0 и

, (1)

то есть, имеем первое свойство гармонической функции: интеграл от нормальной производной гармонической функции от поверхности области равен нулю.

2. Если применим к гармонической функции U формулу (3), то, в силу U = 0, получим:

. (2)

Это дает нам второе свойство гармонической функции: значение гармонической функции в любой точке внутри области выражается через значения этой функции и ее нормальной производной на поверхности области формулой (2).

3. Применим формулу (2) к сфере с центром в и радиусом R, считая, что функция U гармоническая в этой сфере и непрерывна с производными первого порядка вплоть до ее поверхности .

В данном случае направление внешней нормали n совпадает с направлением радиуса сферы, так что мы будем иметь

,

и формула (2) дает

.

Но на поверхности сферы величина r имеет постоянное значение R, так что

,

или, в силу (1), будем иметь окончательно

.

Эта формула выражает третье свойство гармонической функции: значение гармонической функции в центре сферы равно среднему арифметическому значению этой функции на поверхности сферы, то есть, равно интегралу от значений функции по поверхности сферы, деленному на площадь этой поверхности.

4. Функция, гармоническая внутри области и непрерывная вплоть до границы области, достигает своего наибольшего и наименьшего значения только на границе области, кроме того случая, когда эта функция есть постоянная.

Решение задачи Дирихле при помощи функции Грина

Пусть требуется найти функцию u, удовлетворяющую уравнению и граничному условию , где P – точки поверхности S.

Для всякой функции u, непрерывной вместе с первыми производными в замкнутой области T, ограниченной достаточно гладкой поверхностью S и имеющей вторые производные внутри T, имеет место интегральное представление:

. (1)

Если функция u(M) гармоническая, то объемный интеграл равен нулю, если же u(M) удовлетворяет уравнению Пуассона, то объемный интеграл является известной функцией.

Пусть v(M) – некоторая гармоническая функция, непрерывная в вместе с первыми производными, не имеющая нигде особенностей. Вторая формула Грина

дает:

. (2)

Складывая (1) и (2), получаем

, (3)

где

- функция двух точек: и . Точка фиксирована, поэтому x, y, z играют роль параметров.

Формула (3) содержит и . Между тем, при решении первой краевой задачи задается лишь , а при решении второй краевой задачи – значение . Функция v выбирается таким образом, чтобы для первой краевой задачи ( для второй краевой задачи). Определим функцию при помощи условий:

1. как функция точки при фиксированной точке удовлетворяет уравнению Лапласа во всех точках P области T, кроме точки P = M.

2. при совпадении аргументов (P = M) обращается в бесконечность.

3. на границе S обращается в нуль, то есть, = 0, если . Этому условию можно удовлетворить, потребовав, чтобы

.

Функцию определенную таким образом, будем называть функцией точечного источника(функцией Грина) первой краевой задачи для уравнения Лапласа. Формула (3) дает:

,

Это и есть решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа с помощью функции Грина.

Подведем итог: Функция G определяется при помощи функции v, являющейся решением первой краевой задачи для уравнения с граничными условиями .

Функция Грина (источника) для случая двух измерений, очевидно, будет определяться условиями:

1. всюду в рассматриваемой области S, кроме точки .

2. В точке функция G имеет особенность вида

.

3. , где C – граница области S. Функция Грина (источника) в этом случае имеет вид

,

где v – всюду непрерывная гармоническая функция, удовлетворяющая на границе условию

.

Решение первой краевой задачи для , при этом, дается формулой

.

Функция Грина для сферы (шара)

Пусть дана сфера радиуса R с центром в точке O и  заданные предельные значения гармонической функции на поверхности сферы, причем  переменная точка этой поверхности. Мы предполагаем, что  непрерывная на поверхности сферы функция.

Рассмотрим определенную точку внутри сферы и обозначим через r расстояние от до (рис. 10.).

Наряду с точкой рассмотрим точку лежащую на продолжении радиуса сферы и такую, что

или (1)

Точка , лежащая вне сферы, называется сопряженной с точкой .

M₁

₁

r₁

M₀

 r

O M^’ (n)

R

Рис. 10

Обозначим через расстояние от точки M до . Если M находится на поверхности сферы в некоторой точке , то величины r и связаны зависимостью. Треугольники и подобны, так как имеют общий угол при вершине O и стороны образующие эти углы пропорциональны в силу (1)

или

отсюда следует

или , (2)

где - есть длина . Так как , то можно записать

.

Рассмотрим функцию . Эта функция гармоническая всюду кроме точки . В частности она гармоническая внутри шара, и на сфере принимает то же значение, что и функция . Отсюда следует, что функцию Грина можно записать следующим образом:

, (3)

так как это – гармоническая функция, имеющая в особенность и обращающаяся в нуль на сфере.

Найдем нормальную производную от этой функции на поверхности шара

, (4)

где n –внешняя нормаль,

.

Для того чтобы определить воспользуемся теоремой косинусов:

и , (5)

. (6)

Учитывая формулы (5) и (6) для нормальной производной функции Грина получим:

.

Таким образом,

, (7)

подставляя это выражение в решение задачи Дирихле, получим

(8)

Это есть решение задачи Дирихле для шара (для сферы).

Введем сферическую систему координат с началом в центре сферы. Пусть - координаты точки P, а - координаты точки ,  - угол между радиус-векторами и , P – точка на сфере.

Тогда формулу (8) можно переписать в виде

,

где . Эта формула называется интегралом Пуассона для сферы.