1.2.4. Оценка погрешности вычислений
(косвенные измерения)
При косвенных
измерениях, величины
являются данными для определения
посредством вычислений некоторой
величины R,
которая
является известной функцией
(1.39)
В этом случае
возникает необходимость в определении
ошибки
обусловленной ошибками измерения
величин
.
Измеренные значения величин ,b,…r можно представить в виде:
(1.40)
r
=
Тогда:
(1.41)
Разлагая функцию
R
в ряд Тэйлора по степеням
получаем:
(чл. в. п.) (1.42)
В разложении ввиду малости ошибок а, b,…r можно пренебречь членами второго и высших порядков малости.
Тогда, если
- истинное значение величины R,
то:
(1.43)
а ошибка
будет равна:
(1.44)
Частные производные
называют коэффициентами влияния ошибок
измерения (первичных ошибок)
а,
b,
r.
Частные производные
функции R
должны
вычисляться для истинных значений
параметров
от которых они зависят:
(1.45)
Однако на практике
истинные значения измеренных величин
неизвестны, поэтому коэффициенты влияния
вычисляют для средних значений измеренных
параметров
,
которые отличаются от истинных значений
на величину того же порядка что и ошибки
измерения
(1.46)
Это приводит к появлению ошибки второго порядка малости в формуле что несущественно, т.к. вычисляется также с точностью до величин второго порядка малости.
Поскольку ошибки измерения являются случайными ошибками, то величина R и ошибка ее вычисления R также случайные величины.
Поэтому за истинное значение величины R принимают ее наиболее вероятное значение
(1.47)
где:
. . .
а точность ее
вычисления оценивают среднеквадратической
ошибкой
,
в которой значения a, b, … заменены средними квадратическими погрешностями
(1.48)
где:
=
,
,
,
,
. . .
,
.
Значения
характеризуют точность определения
истинных значений
.
При нормальном законе распределения ошибок измерения с вероятностью 0,997:
Соответственно истинное значение величины R определяется с вероятностью
0,683
,
0,954
,
0,997
.
Степень влияния
первичных ошибок
измерения величин
на точность вычисления значения P
определяется
относительной долей каждого слагаемого
в формуле для
,
,
(1.49)
…
Для повышения
точности определения значения
(уменьшение
)
необходимо в первую очередь повышать
точность измерения той из величин
коэффициент к
которых
имеет наибольшее значение.
Рассмотренная методика справедлива, когда измерения величин производится независимо друг от друга.