2. Кинематика

2.1. Траектория, скорость, ускорение материальной точки

Траектория точки. Геометрическое место последовательных положений движущейся точки называется ее траекторией. Если в интервале времени траектория  прямая линия, то движение в этом интервале называется прямолинейным, в противном случае движение называется криволинейным.

С

Рис. 2.1

корость точки. Пусть положение движущейся точки М относительно произвольно выбранного неподвижного центра О определяется в момент времени t радиус-вектором , который соединяет движущуюся точку М с центром О (рис. 2.1).

За время радиус-вектор изменится на .

Мгновенная скорость точки в момент времени t определяется как предел средней скорости при t → 0, т. е.

. (2.1)

Производная по времени от функций обозначается точкой над символом этой функции, а вторая производная – двумя точками.

Вектор скорости приложен в точке М, направлен в сторону ее движения по предельному направлению вектора → 0, т. е. совпадает с касательной к траектории в точке М. Размерность скорости в СИ: = длина/время = м/с. Часто скорость выражают в км/ч = 0,28 м/с.

Скорость – это векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки

Ускорение точки. Пусть движущаяся точка М в момент времени t имеет скорость (рис. 2.2). В момент времени = t + Δt эта точка занимает положение , имея скорость . Чтобы изобразить приращение скорости за время Δt, перенесем вектор скорости параллельно самому себе в точку М, тогда .

Ускорением точки в момент времени t называют предел, к которому стремится среднее ускорение при Δt → 0, т. е.

Рис. 2.2

. (2.2)

Вектор ускорения всегда направлен внутрь вогнутости под любым углом к касательной к траектории движения (рис. 2.2). Размерность ускорения в СИ: = длина/время² = м/с².

Ускорение – это векторная величина, характеризующая быстроту изменения модуля и направления вектора скорости.

Движение точки на плоскости

К

Рис. 2.3

Рис. 2.5

оординатный способ задания движения точки. Зададим радиус-вектор в декартовой системе координат Оху:

.

Тогда движение точки можно задать уравнениями

(2.3)

Уравнения (2.3) являются уравнениями движения точки, а также уравнениями траектории точки, заданными параметрически. Уравнение траектории в системе координат будет иметь вид функции (рис. 2.3). Для получения этой зависимости следует из уравнений (2.3) исключить параметр _. Уравнение траектории в явном виде будет иметь вид функции .

Скорость и ускорение точки по модулю и направлению вычисляются по формулам:

;

Содержание контрольных работ для студентов на тему «кинематика точки» дано в приложении (контрольная работа 1, задача 1).

Пример 2.1. Движение точки M по плоскости Оху задано уравнениями движения

. (а)

Значения х и у – в метрах. Построить траекторию движущейся точки, вычислить скорость и ускорение точки в моменты времени и .

Решение. Для построения траектории движущейся точки в декартовой системе координат определим область, в которой движется точка, т. е. область значений и .¹ Так как и , получаем:

Выделяем область, ограниченную полученными неравенствами, за эту область точка при движении не выходит (рис. 2.4) Исключим параметр t из уравнений движения (a). Для этого делим первое уравнение на 2, второе – на 4, возводим их в квадрат и складываем между собой:

Учитывая, что , получим:

. (б)

Траекторией движущейся точки является эллипс (рис. 2.4). Подставляя в (а) значение , находим:

; м.

Точка в начальный момент времени занимает положение .

_{Определим направление движения точки. Уравнения движения (а) заданы возрастающей функцией и убывающей функцией , поэтому при увеличении t координата «х» возрастает, а «у» убывает, следовательно, точка движется по эллипсу по часовой стрелке.}

Р ис.2.4

Определим модуль и направление вектора скорости точки М. Имеем: (в) Определим модуль и направление вектора ускорения точки М. Имеем:

(г)

При из (а) получаем, что точка М имеет координаты х₁ = 2, у₁ = 0, т. е. занимает положение (рис. 2.4) М₁. Подставляя в (в) и (г) время , получим

Откладываем значение скорости (рис. 2.5, а) и ускорения (рис. 2.5, б) точки М₁ на траектории.

При из (а) получаем, координаты точки : .

Вычислим, используя (в) и (г), модуль и направление векторов скорости и ускорения.

а	б
Рис. 2.5

Имеем:

для ускорения

, .

Откладываем значение скорости (рис. 2.5, а) и ускорения (рис. 2.5, б) точки на траектории.

Вектор скорости точки совпадает по направлению с касательной к траектории в точках и , а вектор ускорения в точках и направлен во внутрь вогнутости траектории (к центру О).

Ответ: V₁= 8 м/с, a₁= 8 м/с²; V₂= 6,3 м/с, a₂= 12,6 м/с².

Естественный способ задания движения точки.

Р ис. 2.6

При естественном способе задания движения точки задаются (рис. 2.6): – траектория движения точки; – начало и направление увеличения дуговой координаты ; – уравнение движения точки по траектории, как функция времени: где S – дуговая координата, отчитываемая от начала движения.

Примером естественного способа задания движения является движение поезда: траектория и направление движения определены рельсами, а уравнение движения задано таблицей – расписанием движения поезда.

Движение точки рассматривается в координатах . Единичный вектор направлен по вектору скорости, единичный вектор перпендикулярен вектору , направлен по главной нормали кривой в сторону ее вогнутости (рис. 2.6).

Скорость точки направлена по касательной и равна

Ускорение точки при естественном способе задания движения раскладывается на два – касательное ускорение , и нормальное ускорение :

.

Касательное ускорение характеризует изменение величины скорости, нормальное – изменение направления вектора скорости.

Естественный способ задания движения это: + траектория , – касательное ускорение; – нормальное ускорение; .

Связь координатного и естественного способов заданий движения точки

Рис. 2.7

Известно, что если точка движется в плоскости О , элемент дуги связан с приращениями координат теоремой Пифагора (рис. 2.7):

При имеем

,

тогда дифференциал дуги связан с дифференциалами функций и (рис.2.7):

,

(знак + или  совпадает со знаком , так как ).

Пример 2.2.

Точка движется в плоскости . Уравнение движения точки задано координатами , , где и выражены в см,  в с.

Исходные данные: (см); (см).

Требуется:

1. Записать уравнение траектории в явном виде: (или ).

2. Построить траекторию.

3. Определить положение точки в начальный момент времени и момент времени с, направление движения точки по траектории.

4. Вычислить вектор скорости и вектор ускорения точки в начальный ( ) и конечный ( с) моменты времени.

5. Задать движение точки естественным способом (вывести закон ).

6. Геометрически и аналитически определить нормальную и касательную составляющие ускорения точки в начальный и конечный моменты времени.

7. Найти радиус кривизны траектории в начальный и конечный моменты времени.

Решение

1. Выводим уравнение траектории в явном виде.

Из первого уравнения системы: ; из второго уравнения системы: . Получаем:

;

;

;

, или .

Таким образом, получаем уравнение параболы .

2. Строим траекторию в масштабе (рис. 2.8).

Ветви параболы вытянуты вдоль оси . Вершина параболы: ; см С (−1;0).

, см	± 1	± 2
, см	0,5	5

3. Определяем положение точки в заданные моменты времени.

; М₀ (−1; 0);

с; М₁ (0,5; 1).

Рис. 2.8

Направление движения точки по траектории в промежуток времени от с до с определяем по уравнениям движения и :

• – функция убывающая, но она в выражении со знаком «–», значит, координата возрастает;

• – функция возрастающая, значит, координата возрастает.

Таким образом, движение точки по параболе в указанный промежуток времени происходит по часовой стрелке (по верхней ветви параболы) (рис. 2.8).

В целом, точка совершает колебательные движения по построенной параболе в области, указанной пунктиром на графике (рис. 2.8).

4. Вычисляем скорость и ускорение для заданных моментов времени.

Так как движение точки задано координатным способом, то скорость и ускорение определяются по их проекциям на координатные оси (рис. 2.9).

Скорость :

см/с;

см/с;

;

см/с;

см/с;

см/с;

с;

см/с;

см/с;

см/с;

Рис. 2.9

Масштабы: чертежа в 1 см  0,5 см; скоростей в 1 см  0,233 см/с; ускорений в 1 см  0,236 см/с².

Ускорение :

см/с²;

см/с²;

; см/с²;

см/с²;

см/с²;

с; см/с²;

см/с²;

см/с².

Выводим закон движения точки в естественной форме, имеем:

.

Для промежутка времени от с до с имеем:

;

= =

, см.

5. Вычисляем нормальное и касательное ускорения.

а) Аналитически:

;

см/с²;

см/с²;

с;

см/с²,

= см/с².

Так как , , движение точки в момент времени с ускоренное.

б) Графическое решение предполагает выполнение геометрического равенства

для соответствующего момента времени (рис. 2.9).

6. Вычисляем радиус кривизны траектории.

Из формулы получаем для каждого времени :

; см;

с; см.

Ответ:

см				см/с
−1	0	0,5	1	0	1,05	1,05	2,7	0,9	2,8
см/с2
3,3	0	3,3	1,6	−0,3	1,6
см/с2								см
граф.	анал.	граф.	анал.	граф.	анал.	граф.	анал.
0	0	3,3	3,3	1,45	1,45	0,68	0,68	0,33	11,53