Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Дифференциальные уравнения

Файл:

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2014

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

будем искать интегралы системы (11) – открытые координатные октанты R3 с введенной системой координат Oxyz .

Из первого равенства (11)

dx = dy находим

y = C x , или

= C . Соотно-

шение

= C

является первым интегралом системы (11), а функция u ( x, y) =

– интегралом системы (11).

Из (11), воспользовавшись свойством равных отношений, находим:

ydx + xdy

d( x y) = d

(

−

= 0

2xyz

xy z2 +1

)

u (x, y, z) = xy − z2 +

1 = C .

Это еще один первый интеграл системы (11).

Имеем

∂u1 ∂u2

∂y

∂u1

∂u2

0 − z

= − x 1 + z2

≠ 0

∂z

1 + z2

во всех точках каждой из восьми областей, в которых рассматривается система

(11). Значит, интегралы u =

, u

= xy

−

1+ z2

– независимые в каждом из

восьми октантов системы координат Oxyz . Следовательно,

U ( x, y, z) =

= C

= 1

− 1+ z2

– общий интеграл системы (11).

Пример 4. Найти интегралы системы

= dt .

(12)

y + z

z + x

+ y

(12) – система трех дифференциальных уравнений относительно трех неизвестных функций, записанная в симметрическом виде. Для отыскания интегралов системы (12) будем пользоваться свойством равных отношений.

Имеем, например,

dx − dy = dt		d(x − y) + dt = 0		(x − y) t = C .	(13)
y − x	t	x − y	t	1

Соотношение (13)	является	первым	интегралом системы (12),		а функция
u1 = (x − y) t – интегралом системы (12).

Имеем, далее, из (12)	x + y + z
d(x + y + z) = dt		= C .	(14)

2( x + y + z) t	t2	2

Соотношение (14) является еще одним первым интегралом системы (12), а

функция u

x + y + z

– интегралом системы (12).

Из (12) находим еще

d(x − z) + dt = 0

dx − dz = dt

(x − z) t = C .

(15)

z − x

x − z

Соотношение (15) является первым

интегралом

системы (12),

а функция

u3 = (x − z) t

– интегралом системы (12).

Имеем

∂u1

−t 0

∂x

∂y

∂z

∂u2 ∂u2 ∂u2

1 1 1

= −3

≠ 0 (t ≠ 0)

t2 t2 t2

∂x ∂y

∂z

∂u3 ∂u3 ∂u3

0 −t

∂x

∂y

∂z

интегралы u1( x, y, z, t) ,

u2 (x, y, z, t), u3(x, y, z, t)

– независимые всюду, где

определена система (12).

§6. Интегрирование линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка

1°. Общий вид линейного уравнения с частными производными первого порядка такой:


n			∂u
∑ai (x1, x2		, K, xn )	∂u		+b(x1, x2 , K, xn ) u = f ( x1, x2 , K, xn ) .			(1′)
∑ai (x1, x2		, K, xn )			+b(x1, x2 , K, xn ) u = f ( x1, x2 , K, xn ) .			(1′)
i=1			∂x	i
i=1				i
Здесь: x1, x2 , K,	xn	– независимые переменные, u = u( x1, x2 , K, xn )						– неиз-
вестная функция,	ai ( x1, x2 , K, xn ) ( i =						), b(x1, x2 , K, xn ), f ( x1, x2 , K, xn ) –
вестная функция,	ai ( x1, x2 , K, xn ) ( i =					1, n	), b(x1, x2 , K, xn ), f ( x1, x2 , K, xn ) –

известные, заранее заданные функции. (Неизвестная функция u(x1, x2 , K, xn ) и

все ее частные производные входят в уравнение (1′) линейно.)

Общий вид квазилинейного дифференциального уравнения с частными производными первого порядка такой:

n	∂u
∑ai (x1, x2 , K, xn , u)		= b( x1, x2 , K, xn , u) .	(2)

i=1	∂xi

(В уравнение входят линейно лишь частные производные неизвестной функции; сама же неизвестная функция u = u( x1, x2 , K, xn ) входит в (2) через по-

средство ai ( x1, x2 , K, xn , u) ( i =

) и b(x1, x2 , K, xn , u) любым образом).

1, n

I. Рассмотрим сначала уравнение вида

a (x

, x

, K, x

)

∂u

+a (x

, x

, K, x

)

∂u

+K+a

, x

, K, x

)

∂u

= 0 .

(1)

∂x

1 1

2 1

∂x

Предполагается,

что

ai ( x1, x2 , K, xn ) C(D),

i =

, и

что

(D)

1, n

a(a1, a2 , K, an ) ≠ (0, 0, K, 0) . Это –

линейное однородное уравнение первого

порядка с частными производными.

Построим систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида

	dx1					=				dx2					=K=				dxn					.	(3)
a ( x	, x	2	, K, x	n	)	=	a	2	( x	, x	2	, K, x	n	)	=K=	a	n	( x	, x	2	, K, x	n	)	.	(3)
1 1		2		n				2	1		2		n				n	1		2		n

(3) называется системой обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующей уравнению (1). (3) – система (n −1) обыкновенных дифференциальных уравнений.

Предполагаем, что (3) задана в области (D) Rn и что (D) – область единственности для системы (3).

Теорема 1. Пусть	ψ1( x1, x2 , K, xn ) = C1 – первый интеграл системы (3) в
(D). Тогда функция u	= ψ1( x1, x2 , K, xn ) – решение уравнения (1) в (D).

Возьмем в области (D) любую точку (x1, x2 , K, xn ) . Через нее проходит интегральная кривая системы (3). Вычислим du вдоль этой интегральной кри-

вой. Так как u = ψ1( x1, x2 , K, xn ) ≡ C1

вдоль интегральной кривой системы (3),

{

то в точках этой кривой

const

∂ψ1 dx +

∂ψ1 dx

du =

+K+

= 0.

(4)

∂x

(В частности, (4) выполняется во взятой точке (x1, x2 , K, xn ) , а она – любая из

(D).)

Из (3) находим, например,

a2 (x1, x2

, K, xn )

dx ,

an ( x1, x2

, K, xn )

dx .

a1( x1, x2

, K, xn )

a1( x1, x2

, K, xn )

Подставив эти выражения для dx2 , K, dxn

в (4), получим в каждой точке

(x1, x2 , K, xn ) (D)

a ( x

, x

, K, x

) ∂ψ1 +a

( x

, x

, K, x

)

∂ψ1 +K+a

, x

, K, x

) ∂ψ1

= 0

1 1

∂x

функция u = ψ1( x1, x2 , K, xn )

– решение уравнения (1) в области (D).

Теорема 2. Пусть

ψ1(x1, x2 , K, xn ) = C1,

ψ2 (x1, x2 , K, xn ) = C2 ,

. . . . . . . .

ψn−1(x1, x2 , K, xn ) = Cn−1

есть (n −1) независимых первых интегралов системы (3). Тогда:

u = ψ(ψ1, ψ2 , K, ψn −1 ) , где ψ – произвольная непрерывно дифференци-

руемая функция, есть решение уравнения (1) в (D);

Любое

решение

уравнения

(1)

(D)

представимо

в виде

u = ψ(ψ1, ψ2 , K, ψn −1 ) .

По условию, ψi ( x1, x2 , K, xn ) = Ci

( i =

1, n −1) – первые интегралы систе-

мы (3) в (D). Следовательно, по теореме 1, функции

u = ψ1( x1, x2 , K, xn ),

u = ψ2 ( x1, x2 , K, xn ), K,

u = ψn −1( x1, x2 , K, xn )

являются решениями уравнения (1) в (D)

a (x

, x

, K, x

)

∂ψi

+a (x

, x

, K, x

) ∂ψi +K+

1 1

∂x

2 1

∂x

+an (x1, x2 , K, xn ) ∂ψi

= 0

в (D)

(5)

∂xn

( i =1, n −1).

Пусть u = ψ(ψ1, ψ2 , K, ψn −1 ) , где ψ – произвольная непрерывно дифференцируемая функция. Имеем:

∂u

∂ψ

∂ψ1

∂ψ

∂ψ2

+K+

∂ψ

∂ψn−1

∂x

∂ψ

∂x

∂ψ

∂x

n−1

∂x

∂u

∂ψ

∂ψ1 +

∂ψ

∂ψ2 +K+

∂ψ

∂ψn−1 ,

∂x2

∂ψ1

∂x2

∂ψ2

∂x2

∂ψn−1

∂x2

. . . . . . . . . . . . . . . . .

∂u

∂ψ

∂ψ1 +

∂ψ

∂ψ2 +K+

∂ψ

∂ψn−1 .

∂xn

∂ψ1

∂xn

∂ψ2

∂xn

∂ψn−1

∂xn

А тогда в области (D)

∂u

a ( x

, x

, K, x

)

∂u

( x

, x

, K,

)

+K+a

, x

, K, x

)

∂x

1 1

∂x

∂ψ

a (x , x

, K, x

)

∂ψ1

+a (x , x

,K, x

)

∂ψ1

+K+ a (x , x

,K, x

)

∂ψ1

∂ψ

1 1 2

∂x

2 1 2

∂x

1 2

∂x

=0 (в силу (5))

+∂ψ a1(x 1,x2,K, xn ) ∂ψ2 +a2 (x1, x2 ,K, xn ) ∂ψ2 +K+an (x1, x2 ,K, xn ) ∂ψ2 + ∂ψ2 ∂x1 ∂x2 ∂xn

= 0

(в силу (5))

. . . . . . . . .

+ . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

∂ψ

a (x ,x

,K, x

)

∂ψn−1

+a (x ,x

,K, x

)

∂ψn−1

+K+a (x ,x

,K, x

)

∂ψn−1

∂ψ

∂x

1 1 2

2 1 2

∂x

n 1 2

∂x

n−1

=0 (в силу (5))

u = ψ(ψ1, ψ2 , K, ψn −1 ) – решение уравнения (1) в области (D).

2)Пусть u = ψ~ ( x1, x2 , K, xn ) – любое решение уравнения (1) в области (D).

Покажем, что

u = ψ(x1, x2 , K, xn ) = ψ(ψ1(x1, x2 , K, xn ), ψ2 (x1, x2 , K, xn ), K, ψn−1(x1, x2 , K, xn )).

нас u = ψ1( x1, x2 , K, xn ) ,

u = ψ2 ( x1, x2 , K, xn ) ,

u = ψn−1( x1, x2 , K, xn ) ,

, K, xn )

– решения уравнения (1) в области (D). Следовательно, в

u = ψ( x1, x2

(D):

∂ψ1 a

+K+ ∂ψ1 a

= 0,

∂x1

∂x2

∂xn

∂ψ2 a

+K+

∂ψ2 a

= 0,

∂x1

∂x2

∂xn

. . . . . .

. . . . . . .

(6)

∂ψn−1 a + ∂ψn−1 a

+K+ ∂ψn−1 a

= 0,

∂x1

∂x2

∂xn

∂ψ a

+K+

∂ψ a

= 0.

∂x1

∂x2

∂xn

(6)

рассматриваем

как

систему

уравнений

относительно

неизвестных

a1,

a2 , K,

an . У нас a1( x1, x2 , K, xn ) ,

a2 (x1, x2 , K, xn ) , K, an (x1, x2 , K, xn ) не

обращаются в нуль одновременно ни в одной точке, принадлежащей (D).

Но у системы (6) решения, отличные от чисто нулевого, существуют лишь тогда, когда определитель этой системы равен нулю, т.е. когда

	∂ψ1	∂ψ1		K	∂ψ1
	∂ψ1	∂ψ1			∂ψ1
	∂x	∂x			∂x
	∂x	∂x	2		∂x	n
	1		2			n
	∂ψ2	∂ψ2		K	∂ψ2
	∂x	∂x		K	∂x
	∂x	∂x	2		∂x	n
	1		2			n	= 0
	∂ψKn−1 ∂ψKn−1			K	∂ψKn−1		= 0
	∂x	∂x		K	∂x
	∂x	∂x	2		∂x	n
	1		2			n
	~	~			~
	∂ψ	∂ψ		K	∂ψ
	∂x	∂x	2	K	∂x	n
	1		2			n
	~			, ψ2 , K, ψn −1 ) .
существует зависимость ψ = ψ(ψ1				, ψ2 , K, ψn −1 ) .

Замечание. Функцию u = ψ(ψ1, ψ2 , K, ψn −1 ) , где ψ – произвольная непре-

рывно дифференцируемая функция, называют общим решением уравнения (1). II. Рассмотрим теперь уравнение вида:

n			∂u
∑ai (x1, x2		, K, xn , u)		= b( x1, x2 , K, xn , u) .				(2)
			∂xi
i=1
Предполагается,	что	функции		ai ( x1, x2 , K, xn , u)	( i =		)	и
						1, n

b(x1, x2 , K, xn , u) C1(D) , (D) Rn+1 ; a(a1, a2 , K, an ) ≠ (0, 0, K, 0) в (D). В (2) x1, x2 , K, xn – независимые переменные, u( x1, x2 , K, xn ) – неизвестная функ-

ция.

Введем в рассмотрение вспомогательное уравнение

a ( x

, x

, K, x

, u)

∂v

( x , x

, K, x

, u)

∂v

+K+

1 1

∂x1

∂x2

∂v

, u) ∂v = 0.

( 2)

, x

, K, x

, u)

+b( x

, x

, K,

∂xn

∂u

, K,

xn ,

– независимые переменные,

v ( x1, x2 , K, xn , u)

– неиз-

В ( 2) x1, x2

вестная функция.

Видим, что	~	– линейное однородное дифференциальное уравнение с ча-
	( 2 )

стными производными относительно неизвестной функции v ( x1, x2 , K, xn , u).

(Уравнение такого вида было рассмотрено в пункте I.)

Система обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующая

уравнению ( 2) , будет такой:

dx1

dx2

dxn

=K=

. ( 3)

a ( x , K,

, u)

, K, x

, u)

( x

, K, x

, u)

b( x , K, x

, u)

1 1

~
( 3) – система n обыкновенных дифференциальных уравнений. Предполагается,
~	( D) R	n+1	и что (D) – область единственности для
что ( 3) задана в области	( D) R		и что (D) – область единственности для

~ . ( 3 )

ψ = ~

Пусть 1( x1, x2 , K, xn , u) C1 – первый интеграл системы ( 3) в (D). Тогда (см. теорему 1) функция

v = ψ1( x1, x2 , K, xn , u)

является решением вспомогательного уравнения ( 2) . Следовательно,

a ( x , x

, K,

, u)

∂v

( x

, x

, K,

, u)

∂v

+K+

1 1

∂x1

∂x2

∂v

, u) ∂v = 0

( 4 )

(x , x

, K, x

, u)

+b( x , x

, K, x

в ( D).

∂xn

∂u

Имеет место

Теорема 3. Неявная функция u( x1, x2 , K, xn ), определяемая соотношением

ψ1( x1, x2 , K, xn , u) = 0 ,

является решением уравнения (2).

Пусть u( x1, x2 , K, xn ) – неявная функция, определяемая соотношением

ψ1( x1, x2 , K, xn , u) = 0 . Тогда, как известно,

∂u

∂ψ1

∂u

∂ψ1

∂u

∂ψ1

= −

∂x1

;

= −

∂x2

;

= −

∂xn

∂x

∂ψ1

∂u

Подставив эти выражения для

∂u

в уравнение (2), получим:

∂x

∂ψ1

−a (x , K, x

, u)

∂x1

−a

, K,

, u)

∂x2

−K−

∂ψ1

∂u

∂ψ1

∂xn

−a

( x , K, x

, u)

−b( x , K,

, u)

∂u

∂ψ1

∂u

, K, xn ,u) ∂ψ1

∂ψ1

= −

∑ai ( x 1, x2

+b( x 1, x2 , K, xn

,u)

= 0.

∂ψ1

i=1

∂x

∂u

= 0

в силу

(D ),

( 4 )

Видим, что

неявная

функция

u( x1, x2 , K, xn ),

определяемая соотношением

ψ1( x1, x2 , K, xn , u) = 0 , действительно является решением уравнения (2). Пусть

ψ1( x1, x2 , K, xn , u) = C1, ψ2 (x1, x2 , K, xn , u) = C2 ,

. . . . . . . . .

ψn (x1, x2 , K, xn , u) = Cn

– независимые первые интегралы системы ( 3) . Тогда (см. теорему 2) функция v = ψ(ψ1(x1, x2 , K, xn , u), ψ2 ( x1, x2 , K, xn , u), K, ψn ( x1, x2 , K, xn , u)),

где ψ – произвольная непрерывно дифференцируемая функция, является реше-

нием вспомогательного уравнения ( 2) .

Имеет место

Теорема 4. Неявная функция u( x1, x2 , K, xn ), определяемая соотношением

ψ(ψ1( x1, x2 , K, xn , u), ψ2 (x1, x2 , K, xn , u), K, ψn ( x1, x2 , K, xn , u))= 0 ,

( 5 )

является решением уравнения (2).

Пусть

u( x1, x2 , K, xn ) – неявная функция, определяемая соотношением

ψ(ψ1(x1, K, xn , u), K, ψn ( x1, K

, xn , u))= 0 .

∂u

( 5)

Найдем

∂x1

∂x2

∂xn

∂u

Чтобы найти

, продифференцируем по x1 обе части ( 5) . Получим

∂x1

∂ψ

∂ψ1 +

∂ψ1

∂u

∂ψ

∂ψ2 +

∂ψ2

∂u

∂ψ

∂ψn +

∂ψn

∂u

= 0

+K+

∂ψ1

∂x1

∂u

∂x1

∂ψ2

∂x1

∂u

∂x1

∂ψn

∂x1

∂u

∂x1

∂u

∂x1

∂ψ

∂ψ1

∂ψ

∂ψ2

+K+

∂ψ

∂ψn

= −

∂ψ

∂x

∂ψ

∂x

∂ψ

∂x

∂ψ

∂ψ1

∂ψ

∂ψ2

+K+

∂ψ

∂ψn

∂ψ1

∂u

∂ψ2

∂u

∂ψn

∂u

	n	∂ψ		∂ψ
	∑			j
		∂ψ	j	∂x
= −	j =1			1		.
	n	∂ψ
				∂ψ	j
	∑
		∂ψ	j	∂u
	j =1

Совершенно аналогично находим:

		n	∂ψ			∂ψ	j
		∑
∂u			∂ψ j			∂x2
	= −	j =1						,
∂x2		∑ ∂ψ
					∂ψ j
		n
		j =1	∂ψ	j		∂u

Подставив эти выражения для ∂u ,

∂x1

∂ψ

∑

∂u

∂ψ j

∂xn

= −

j =1

∂xn

∑ ∂ψ

∂ψ j

j =1

∂ψ

∂u

, K,

∂u

в уравнение (2), получим:

∂xn

∂x2

∂ψ

∑

∂ψ

∂x

∂ψ

∂x

−a ( x , K, x

, u)

j =1

−a

( x , K, x

, u)

j =1

−K−

1 1

∂ψ

∑

∂ψ

∂u

∂ψ

∂u

j =1

∂ψ

∑

∂ψ

∂x

∂ψ

∂u

−a

(x , K, x

, u)

j =1

−b(x , K, x

, u)

j =1

∂ψ

∑

∂ψ

∂u

∂ψ

∂u

j =1

∂ψ

∂ψj

= −

∑

∑i=1 ai ( x1,Kxn ,u)

+ b( x1, Kxn ,u)

= 0.

∂ψ

∂ψj

∂xi

∂u

∑

j=1

∂ψj

∂u

j=1

= 0 в (D ),

j =1, n.

∑ai( x1, x2 , Kxn ,u) ∂ψ j

j =1, n , так

+b( x1, x2 , Kxn ,u) ∂ψ j

= 0 для любого

i=1

∂xi

∂u

как v = ψ j ( x1, x2 , K, xn , u)

j =1, n .

– решения уравнения ( 2) ,

Видим, что неявная функция u( x1, x2 , K, xn ), определяемая соотношением

( 5) , действительно является решением уравнения (2).

~ ψ

Функцию u( x1, x2 , K, xn ), определяемую соотношением ( 5) , в котором –

произвольная непрерывно дифференцируемая функция, называют общим решением уравнения (2).

Пример 1. Найти общее решение уравнения

(x − z) ∂∂ux +( y − z) ∂∂uy +2z ∂∂uz = 0 .

u = u( x, y, z) – неизвестная функция. Заданное уравнение – линейное од-

нородное. Строим систему обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующую заданному уравнению:

= dz .

x − z

y − z

Пользуясь свойством равных отношений, найдем интегралы этой системы

2dz

d(x + y +2z)

(x + y +2z)2

= C

– это

x − z

y − z

x + y +2z

первый интеграл системы.

d(−y)

d(x − y)

(x − y)2

= C – это еще один

x − z

z − y

x − y

первый интеграл системы.

Общее решение заданного уравнения будет таким:

u = ψ

( x + y +2z)2

( x − y)2

Здесь ψ – произвольная непрерывно дифференцируемая функция.

Пример 2. Найти общее решение уравнения

∂z

− xz

∂z

= ez .

∂x

∂y

(1 )

z = z (x, y) – неизвестная функция. Заданное уравнение (1 ) – квазилиней-

ное. Вводим в рассмотрение вспомогательное уравнение

∂v

− xz

∂v

= 0 .

∂x

∂y

∂z

( 2)

z – независимые переменные,

v ( x, y, z) –

неизвестная функция.

В ( 2) x, y,

Уравнение

(

2) – линейное однородное относительно неизвестной функции

v ( x, y, z) .

Составляем систему обыкновенных дифференциальных уравнений, соответ-

ствующую уравнению ( 2) :

= ez .

( 3)

−xz

Найдем интегралы системы ( 3) :

x dx + y dy

= dz

1) dx

x dx

y dy

x dx + y dy = 0

−xz

xyz

−xyz

d( x2 + y2 ) = 0

x2 + y

2 = C

– первый интеграл системы ( 3) .

2) dx

= dz . Воспользуемся найденным первым интегралом. Будем иметь

x +(z +1) e−z = C

= ze−z dz

arcsin

C − x2

arcsin

+(z +1) e−z = C

x2 + y2

– это другой первый интеграл системы ( 3) .

Общее решение вспомогательного уравнения ( 2) будет таким:

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Дифференциальные уравнения

#
01.05.20144 Мб81Курс высшей математики. Часть 3..doc
#
01.05.20143 Мб80Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.pdf
#
01.05.2014137 Кб93Шпаргалка по диффурам.doc