Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Дифференциальные уравнения

Файл:

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2014

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

~	= Φ( x) C , где C	– произвольный постоянный вектор, есть общее решение
Y

системы (10 ) в (D).)

Пусть вектор-функция Y*( x) = ψ ( x) , x I , – какое-нибудь решение неоднородной системы (1). Тогда

Y = Φ( x) C + ψ ( x)	(2)
есть общее решение системы (1) в (D).
1) Берем произвольную точку (x0 ,Y0 ) (D) и рассматриваем векторное
уравнение
Y0 = Φ( x0 ) C + ψ ( x0 )
Φ( x0 ) C =Y0 − ψ ( x0 ) .	(3)

(3) – алгебраическая система линейных уравнений относительно компонентов вектора C. Определителем этой системы является det Φ(x0 ) ≠ 0 . Следовательно,

(3) имеет и притом единственное решение C (0) = Φ−1( x

) (Y − ψ ( x

)).

2) Подставим в (2) C(0) вместо C. Получим

Y = Φ( x) C (0) + ψ ( x) .

(4)

Убедимся, что (4) является решением системы (1). Имеем

[Φ( x) C(0) + ψ( x)]− A( x) [Φ(x) C(0) + ψ( x)]=

[Φ(x) C(0) ]+ dψ( x) − A( x) [Φ(x) C(0) ]− A( x) ψ(x) =

[Φ(x) C(0) ]− A(x) [Φ(x) C(0) ]+ dψdx(x) − A(x) ψ( x) ≡ F(x), x I .

144444424444443

144424443

≡ 0, x I

≡ F(x), x

Показано, таким образом, что (2) удовлетворяет определению общего решения системы (1).

§7. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения решения Y*( x) = ψ( x) линейной неоднородной системы

обыкновенных дифференциальных уравнений

Пусть имеется линейная неоднородная система
	dY	= A(x) Y + F( x).		(1)
	dx

Тогда		dY
			= A( x) Y	(10 )

		dx

– линейная однородная система, соответствующая линейной неоднородной системе (1). Пусть Φ( x) – ф. м. р. с., (10 ) Y = Φ( x) C , где C – произвольный постоянный вектор, – общее решение системы (10 ) .

Станем искать решение Y*( x) = ψ ( x) системы (1) в виде:

Y*( x) = Φ( x) C( x) ,

(2)

C1( x)

где C( x) = C2 (x) – неизвестная (пока) вектор-функция. Хотим, чтобы вектор-

CnK( x)

функция (2) была решением системы (1). Но тогда должно быть справедливо тождество

Φ′(x) C(x) +Φ(x) C′(x) ≡ A(x) Φ(x) C(x) + F( x),		x I
	Φ′( x) − A( x) Φ(x) C(x) +Φ(x) C′(x) ≡ F(x),	x I
	[144424443]
	≡ 0, x I

Φ( x) C′( x) ≡ F( x), x I C′( x) ≡ Φ−1( x) F(x), x I

C( x) = ∫Φ−1(t) F(t) dt

(произвольный постоянный вектор, который получается в результате интегрирования, можно считать равным 0). Здесь точки x0 , x I = (a, b) – любые.

Видим, таким образом, что если в (2)	в качестве C( x) брать
x
C( x) = ∫Φ−1(t) F(t) dt , то вектор-функция
x0
x
Y*( x) = Φ( x) ∫Φ−1(t) F(t) dt,	x I ,
x0

будет решением системы (1).

Замечание. Общее решение линейной неоднородной системы (1) может быть записано, следовательно, в виде

x
Y = Φ(x) C +Φ(x) ∫Φ−1(t) F(t) dt, x I .	(3)
x0

Пусть требуется найти решение системы (1), удовлетворяющее начальному условию

Y	x =x0	=Y0 (точка (x0 ,Y0 ) (D) ).	(4)

Подстановка в (3) начальных данных (4) дает

Y = Φ( x		) C	C = Φ−1(x	) Y .
0	0		0	0

Следовательно, решение задачи Коши (1) – (4) может быть записано в виде

x
Y = Φ( x) Φ−1( x0 ) Y0 +Φ( x) ∫Φ−1(t) F(t) dt .	(5)

В частном случае, когда Φ( x0 ) = E , последняя формула принимает вид

Y = Φ(x) Y0 +Φ( x) ∫Φ−1(t) F(t) dt .

Прежде чем приступать к изложению метода интегрирования линейных систем с постоянными коэффициентами, продолжим обзор некоторых сведений из теории матриц, используемых в дальнейшем.

§8. Матричные последовательности и ряды
Пусть имеется последовательность матриц
(в (1) Ak = {ai(jk )} ( i, j =		{Ak }k N			(1)
		)). Пусть имеется матрица A = {ai j } ( i, j =		).
	1, n		1, n

Определение. Говорят, что последовательность матриц (1) сходится к мат-

рице A при k → ∞, и пишут Ak

→ A (или lim

= A), если

Ak − A

→0 .

Итак, по определению

k →∞

→∞

k →∞

lim

− A

k →∞

Мы знаем, что

− A

= max

ai(jk ) −ai j

. Поэтому

i, j =1, n

( k )

− A

−a

→0,

k →∞

i j

k →∞

Следовательно,

( k )

→a

i, j

k k →∞

i j

k →∞

i j

т.е. сходимость последовательности матриц (1) эквивалентна одновременной

сходимости n2 числовых последовательностей.

Отметим следующие свойства сходящихся последовательностей матриц.

1) Если Ak → A , то Ak → A .
k →∞	k →∞

2)Если Ak k →∞→ A , Bk k →∞→B , то Ak + Bk k →∞→ A + B .

3)Если Ak k →∞→ A , Bk k →∞→B , то Ak Bk k →∞→ A B .

Установим, например, свойство 3.

Имеем

Ak Bk − AB = Ak Bk − Ak B + Ak B − AB = Ak (Bk − B) +( Ak − A) B

Ak Bk − AB

≤

Ak (Bk

− B)

( Ak − A) B

≤ n

Bk − B

− A

{

124 43

124

→

→ 0

k→∞

B − AB

→0

B → AB .

k →∞

k k k →∞

Определение. Пусть {Ak }k N – последовательность матриц. Выражение

∞

∑Ak

= A1 + A2 +K+ Ak +K

(2)

k =1

называется матричным рядом.

Положим

S1 = A1,

S2 = A1 + A2 ,

. . . . . .

Sl = A1 + A2 +K+ Al ,

. . . . . . . . .

( Sl

– l-я частичная сумма матричного ряда (2)). Ясно, что {Sl }l N – последова-

тельность частичных сумм ряда (2).

Если последовательность {Sl }l N сходится к матрице S при l → ∞, то мат-

ричный ряд (2) называется сходящимся, а матрицу S называют суммой матричного ряда (2).

∞

Пишут: S = ∑Ak .

k =1

Отметим, что Sl есть матрица с элементами

∑l	ai(jk ) (i, j =		) .
		1, n
k =1

Следовательно, сходимость матричного ряда (2) означает сходимость n2 обычных числовых рядов

∞

∑ai(jk ) (i, j =1, n) .

k =1

Справедливо утверждение:

Пусть имеются два сходящихся матричных ряда

	∞			∞
(I)	∑Ak	и	(II)	∑Bk
	k =1			k =1
и пусть A и B – суммы рядов (I)		и	(II)	соответственно. Тогда ряд (III)
∞
∑( Ak + Bk ) тоже сходится и имеет сумму ( A + B) .
k =1
В самом деле, пусть Sl(I) ,	Sl(II) , Sl(III) – l-е частичные суммы рядов (I), (II) и
(III) соответственно. Имеем: Sl(III) = (Sl(I) + Sl(II) )				Sl(III) →( A + B).
				k →∞

§9. Матричные степенные ряды

Пусть имеется скалярный степенной ряд

∞
∑ak xk .	(1)

k =0

Пусть r – радиус сходимости, f ( x) – сумма ряда (1). Пусть A – произвольная квадратная матрица порядка n. Рассмотрим ряд

∞
∑ak Ak .	(2)

k =0

( A 0 = E ). Ряд (2) называется степенным рядом от матрицы A. Если ряд сходится, то его сумму уславливаемся обозначать через f ( A) .

Теорема (об условиях сходимости матричного степенного ряда). Пусть имеется скалярный степенной ряд (1):

					∞
					∑ak xk .
Пусть r –					k =0
	радиус сходимости,			f ( x)		– сумма этого ряда. Рассмотрим ряд (2):
∞
∑ak Ak ,		где	A –произвольная			квадратная матрица порядка n. Пусть
k =0
λ1, λ2 , K, λm – собственные числа матрицы A. Тогда:
1) если		λ j	< r , для любого	j =			, то ряд (2) сходится.
					1, m

2) если имеется хотя бы одно j0 такое, что λj0 > r , то ряд (2) расходится. I. Рассмотрим сначала случай, когда матрица A имеет вид:

			A1	0	0	K
			0	A2	0	K
		A =
		K K K K
			0	0	0	K
			0	0	0	K
где матрица Aj ( j =		) имеет		размеры
где матрица Aj ( j =	1, m	) имеет		размеры

0 ,

(n j × n j ) и ∑n j = n

j =1

	∞
A = diag[A1, A2 , K, Am ]. Наряду с рядом (2): ∑ak Ak			рассмотрим ряды
	k =0
∞
∑ak Ajk ( j =		) .	(3)
	1, m
k =0

Покажем, что ряд (2) сходится лишь тогда, когда сходится каждый из рядов (3) (причем, в случае сходимости: если f ( A) – сумма ряда (2), а f ( Aj ) ( j =1, m) –

суммы рядов (3), то f ( A) = diag[f ( A1 ), f ( A2 ), K, f ( Am )].) Для этого рассмотрим l-ю частичную сумму ряда (2). Имеем:

		l	Ak	0	0	K 0
l			1	Ak
	k		0		0	K 0
Sl = ∑ak A
		= ∑ak	K K2		K K K		=
k =0		k =0	0	0	0 K Amk

		l
		∑ak A1k
		k =0
		k =0

		0
	=
		K

		0
		0

	Тогда:
		f ( A) =

∑ak A2k

k =0

lim Sl ( A)

l→∞

0 K		0
0 K		0
				Sl ( A1 )		0	0 K 0
				Sl ( A1 )		0	0 K 0
0 K 0					0	Sl ( A2 )	0 K 0
				=	K	K K K				K	.
					K	K K K				K
K K l		K			0	0
K K l		K			0	0	0 K Sl ( Am )
			k
0 K ∑ak Am
	k =0
	lim S	( A )		0	0	K	0
	l→∞ l	1	lim Sl ( A2 ) 0
	0		lim Sl ( A2 ) 0			K	0
=			l→∞							=
			l→∞
	K			K	K K		K
	0			0	0	K lim S			( A
	0			0	0	K lim S		l	( A	)
						l→∞		l	m

f ( A1 )
	0
=
	K
	0

0	0	K	0
f ( A2 ) 0		K	0
K	K K		K	= diag[f ( A1 ), f ( A2 ), K, f ( Am )].
0	0
0	0	K f ( Am )

II. Допустим, что матрица Aj

λ j		0		0
	1	λ	j	0
	0			λ j
		1
Aj =	K K K
	0	0		0

	0	0		0

имеет вид ( j =1, m):

K0 0

KK K – клетка Жордана.

Kλ1j λ0

∞

Покажем, что если

λ j

< r , то ряд ∑ak Ajk сходится,

если же

λ j

> r , то ряд

∞

k =0

∑ak Ajk расходится.

k =0

Ajk (для произвольного k). Для этого представим ее в

Вычислим матрицу

виде:

λ j

K 0

0 0 0 K 0 0

λ j

= 0

K 0

1 0 0 K 0 0

= λ

E + E .

K K K K K

K K K K K K

0 0 0 K 1 0

0 0

K λ j

144424443

=λ j E

=E1

Отметим, что матрица λ j E коммутирует с любой матрицей (в частности, с матрицей E1 ). Поэтому сумму λ j E + E1 можно возводить в степень по формуле бинома Ньютона. Значит,

	k				k	k				k −1						k (k −1)			k −2			2		k (k −1)K1		k
A	j	= (λ	j	E + E )		= λ	j	E + k λ			j		E +						λ	j	E		+K+		E	1	.
A		= (λ		E + E )		= λ		E + k λ					E +						λ		E		+K+		E		.
				1										1			2				1			k !
Подсчитаем различные степени матрицы E1 . Имеем:
														0	0		0	K 0		0	0
														0	0		0	K 0		0	0
						E		2	= E	E		=		1	0		0 K 0 0 0
						E		2	= E	E		=		1	0		0 K 0 0 0
							1		1	1
														K K K K K K K
														0	0		0	K 1		0	0
														0	0		0	K 1		0	0

– имеет две первых нулевых строки и два последних нулевых столбца,

		0	0	K 0	0	0	0
		0	0	K 0	0	0	0
		0	0	K 0	0	0	0
E13 = E1 E12		0	0	K 0	0	0	0
E13 = E1 E12	=	1	0	K 0 0 0 0
		0	1	K 0	0	0	0

		K K K K K K K
		0	0	K 1	0	0	0
		0	0	K 1	0	0	0

– имеет три первых нулевых строки и три последних нулевых столбца, и т. д. А тогда

λk

0 K 0

λkj

kλkj−1

0 K 0

k (k −1)

Ajk = (λ j E + E1)k =

λkj−2

kλkj−1

λkj K 0

K K K K

n j

−1 k −( n j

−1)

λ j

K K K λ j

λk

K 0

(λkj )′

λkj

K 0

(λkj )′′

(λkj )′

λkj

K 0

K K K K

( n j −1)

(λ j )

K K K λ

(n j

−1)!

Имеем

∑ak λkj

K 0

k =0

′

∑ak λ j

k =0

∑ak λkj

K 0

k =0

″

′

Sl ( Aj ) = ∑ak Aj

k =0

∑ak λ j

k =0

∑

ak λ j

k =0

( n j −1)

∑ak

λ j

k =0

K K ∑ak λkj

(n j −1)!

k =0

∞

Пусть

λ j

< r . Тогда ряд

∑ak λkj

–

сходящийся. Пусть

f (λ j )

– сумма этого

ряда. Но тогда существует

k =0

f (λ j )

K 0

f ′(λ j )

f (λ j )

f ′(λ j )

lim Sl ( Aj ) = f ( Aj ) =

f ′′(λ j )

f (λ j ) K

l→∞

( n

−1)

(λ j )

K f (λ j

)

(n j −1)!

∞

ряд ∑ak Ajk сходится.

k =0

∞

Пусть

λ j

> r . Тогда ряд ∑ak λkj

расходится ряд ∑ak Ajk

расходится.

k =0

III. Пусть теперь A – произвольная матрица размера

n × n , J –

жорданова

форма матрицы A, т.е. J = diag[J1, J2 , K, Jm ], где

Пусть матрица S такая, что A = S −1JS ( det S ≠ 0 , S – матрица подобия; матрицы A и J имеют одинаковые собственные числа). Пусть собственные числа

λ1, λ2 , K, λm матрицы A удовлетворяют условию:		λ j	< r ,			j =		. Но тогда
λ1, λ2 , K, λm матрицы A удовлетворяют условию:		λ j	< r ,			j =	1, m	. Но тогда
∞
по доказанному сходится ряд ∑ak J kj при любом		j =			,	причем этот ряд
по доказанному сходится ряд ∑ak J kj при любом		j =		1, m	,	причем этот ряд
k =0
имеет своей суммой

	.

∞
Следовательно, ряд ∑ak J k	сходится и имеет своей суммой матрицу:
k =0
f ( J ) = diag[f ( J1 ), f ( J2 ), K, f ( Jm )].
∞
Но тогда сходится ряд ∑ak Ak		и имеет своей суммой f ( A) = S −1 f ( J ) S . До-
k =0				∞
				∞
	j0			> r . Тогда ряд ∑ak J jk0 расхо-
пустим теперь, что имеется	j0	такое, что	λj0	> r . Тогда ряд ∑ak J jk0 расхо-
				k =0
				∞
дится (по доказанному) расходится ряд				∑ak J k расходится ряд

k =0

∞

∑ak Ak , так как матрица A подобна матрице J.

k =0

§10. Экспонента от матрицы

Рассмотрим скалярный степенной ряд


∞		x	k
∑		x		.		(1)
∑		k !		.		(1)
k =0		k !
k =0
Мы знаем, что радиус сходимости ряда (1) r = +∞ и что сумма ряда						(1)
f ( x) = ex . Рассмотрим матрицу A размером n × n ( n ≥1) и матричный ряд
∞
∑	Ak				.	(2)
∑					.	(2)
k =0		k !
k =0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Дифференциальные уравнения

#
01.05.20144 Мб81Курс высшей математики. Часть 3..doc
#
01.05.20143 Мб80Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.pdf
#
01.05.2014137 Кб93Шпаргалка по диффурам.doc